Quadrilateri

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In questa pagina otteniamo dapprima due formule generali valide per quadrilateri convessi, la prima riguardante l'area di un quadrilatero mentre la seconda collega il prodotto delle diagonali con i lati. Dedotta dalla prima, come caso particolare, la formula di Brahmagupta, l'uso di entrambe permette di dimostrare la formula di Bretschneider che fornisce l'area di un quadrilatero in termini delle sole lunghezze dei lati e delle diagonali. Trattiamo infine del teorema di Eulero e di figure geometriche ottenute con la combinazione di quadrilateri.

Una formula famosa: Erone

Sebbene riguardante i triangoli, presentiamo in questa sezione una semplice dimostrazione della famosa formula di Erone per l'area del triangolo in quanto, più avanti, questa stessa espressione verrà ottenuta come caso particolare di una relativa ai quadrilateri ciclici.

Di questa formula abbiamo già presentato una prima dimostrazione basata su nozioni coinvolgenti le circonferenze inscritte e circoscritte seguita da una seconda che si sviluppa con nozioni del calcolo vettoriale e in particolare coinvolge la definizione trigonometrica di prodotto scalare. In quanto segue sfruttiamo ancora solo nozioni elementari di algebra e geometria alcune delle quali già presentate nella dimostrazione vettoriale.

Pur attribuita ad Erone, nato il 10 a. C. e morto attorno al 75 d. C., la formula che dà l'area di un triangolo, è dovuta ad Archimede. Comunque essa appare in diverse sue opere (Geodesia, Diottra, Metrica) e, assieme a numerose altre alcune delle quali dimostrate, altre invece solo approssimate, aiuta a comprendere la pecularietà dell'opera di Erone, spartita tra una matematica rigorosa e i procedimenti approssimati. Siano AB = c, AC = b, BC = a le lunghezze dei lati di ABC e h = CH l'altezza relativa al lato AB (fig. 1).

figura 1

Il perimetro 2p è espresso quindi da

Sommando ad entrambi i membri della prima e in successione - 2a, - 2b e - 2c si ottengono le tre relazioni

già utilizzate in una precedente dimostrazione. Senza perdita di generalità in quanto esiste sempre in un triangolo un'altezza con tale proprietà, supponiamo che l'altezza CH cada entro la base AB. L'area di ABC è data ovviamente

per cui intendendo esprimerla in termini delle sole lunghezze dei lati, dobbiamo cercare un'espressione di h in termini di queste ultime. A tal proposito, notiamo che l'altezza CH suddivide ABC in due triangoli rettangoli dove poniamo ancora p = AH e q = HB (fig. 2)

figura 2

Evidentemente risulta

e, per il teorema di Pitagora, valgono pure

Ora, esplicitato p dalla (2) p = c - q ne eseguiamo e svolgendolo a secondo membro.

Sommando h² ad entrambi i membri

e inserite le relazioni (3) giungiamo alla

dalla quale discende che q risulta espresso in termini delle lunghezze dei lati dall'espressione

Non ci resta che esplicitare h² dalla prima delle (3) e sostituirvi il valore appena trovato dopo aver scomposto in fattori il secondo membro

Eseguendo il minimo comun denominatore

e notato che entro i due fattori del numeratore si riconoscono dei quadrati, discende

Scomposto il numeratore nei quattro fattori

riconosciamo le già riportate relazioni tra lati e (semi)perimetro per cui

Semplificando i fattori numerici e riordinando, otteniamo

da cui

e che, in base all'espressione iniziale risulta pari al quadrato dell'area e a quanto volevamo dimostrare.

Più avanti in questa pagina otterremo una generalizzazione di questo risultato che sarà applicabile ai quadrilateri ciclici.

Una dimostrazione impegnativa

Intendiamo qui provare per via algebrica un risultato generale riguardante l'area dei quadrilateri convessi. La formula cui giungeremo ci permetterà di riottenere come suoi casi particolari la formula di Erone e la dimostrazione di quella di Brahmagupta per i quadrilateri ciclici. Riteniamo che la dimostrazione risulti particolarmente impegnativa pur non coinvolgendo nozioni che vanno al di là del teorema del coseno in quanto richiede di trattare espressioni algebriche con numerosi termini e, soprattutto, di riconoscere una fattorizzazione certamente non immediata. Suddividiamo quindi il suo svolgimento in tre momenti.

Sia quindi ABCD un quadrilatero convesso con a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, β = ABC e δ = CDA, AC = m la lunghezza di una sua diagonale e H, K i piedi delle altezze condotte da C rispettivamente alle AB e AD (fig. 3).

figura 3

Fase 1. Evidentemente l'area (ABCD) del quadrilatero è data dalla somma delle aree dei due triangoli ABC e ACD (trattiamo in questo contesto quadrilateri convessi dove le aree dei triangoli sono espresse da valori positivi) e ciascuna di queste risulta

Ne segue che

quadrando entrambi i membri

Fase 2. Ritornando ai due triangoli nei quali è stato suddiviso ABCD ed applicando a ciascuno il teorema del coseno, la lunghezza della diagonale AC si esprime nei due modi seguenti

Eliminando m da queste due relazioni otteniamo

e portando a primo membro le funzioni goniometriche

Nella relazione (4) appaiono le funzioni goniometriche al quadrato mentre in quella appena trovata le stesse sono di primo grado. Per poter ottenere una loro semplificazione conviene quindi elevare al quadrato quest'ultima ponendo comunque l'ipotesi di positività dei suoi due membri. Se questi fossero negativi si dovrebbero moltiplicare entrambi per -1 onde poter procedere: la relazione comunque finale non cambierebbe forma. Ne segue

dalla quale, dividendo per 16 e scambiando i membri

otteniamo un'uguaglianza che sommiamo membro a membro alla (4)

Tenendo conto dell'identità fondamentale e delle formule di addizione per il coseno

la precedente si riduce alla

Riportato a secondo membro il secondo addendo del primo e isolato il termine contenente il coseno si giunge alla

Fase 3. Cercheremo ora di riscrivere il termine tra parentesi quadrate in una forma che coinvolga il perimetro 2p = a + b + c + d (o semiperimetro p) del quadrilatero. Con tale obiettivo eseguiamo il quadrato riducendo i termini simili

e quindi sommiamo e sottraiamo entro le parentesi quadre il termine 8 a b c d.

Il termine tra parentesi rotonde si può (con un po' di attenzione...) riscrivere osservando che

Applicando più volte la scomposizione (x² - y²) = (x + y)(x - y) e la proprietà commutativa si riesce a scomporre (con un po' di pazienza...) il termine in quattro fattori

e quindi, nello stesso modo nel quale si sono ottenute le espressioni in termini del semiperimetro per la formula di Erone, abbiamo qui

cosicché la relazione per l'area assume la forma

da cui

Utilizzando infine l'identità goniometrica

giungiamo alla formula

che costituisce il quadrato della formula cercata. Questa permette il calcolo dell'area del quadrilatero convesso (ABCD) in termini delle lunghezze dei quattro lati e di due angoli opposti di ABCD e, come vedremo nella prossima sezione, fornisce l'occasione per un'osservazione di carattere generale sui quadrilateri.

Formula di Brahmagupta

Dal precedente risultato discendono immediatamente alcune importanti conseguenze. La prima riguarda i quadrilateri ciclici ossia quei quadrilateri inscrittibili in un cerchio. Per questi sappiamo che la somma degli angoli opposti è pari ad un angolo piatto per cui risulta

e l'area (al quadrato) del quadrilatero si riduce a

È questa la formula di Brahmagupta, matematico hindu vissuto nel 7º secolo d. C. (fig. 4)

figura 4

Se vale la condizione che d = 0, il quadrilatero si riduce ad un triangolo, poligono sempre inscrittibile in un cerchio: in tal caso, dalla formula di Brahmagupta discende quella già vista di Erone

Infine, poiché nei quadrilateri ciclici l'addendo contenente il coseno assume il suo valore minimo nullo (mentre in generale risulta positivo) possiamo, in tutta generalità notare come tra tutti i quadrilateri che si possono costruire con quattro segmenti dati (per cui il termine (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) risulta costante), quello con area maggiore è il quadrilatero che si può (o i quadrilateri che si possono) inscrivere in un cerchio.

Problema 14.1. Partendo dalla formula di Erone e con una similitudine tra triangoli, dimostrare la formula di Brahmagupta.
Dimostrazione

Problema 14.2. Dimostrare che in un quadrilatero ciclico ABCD con diagonali perpendicolari che si intersecano in Q, la linea per Q perpendicolare ad uno qualsiasi dei lati, suddivide il lato opposto in due parti congruenti.
Dimostrazione

Costruzione 14.3. Costruire un quadrilatero inscritto in un cerchio e circoscritto ad un secondo cerchio.
Soluzione

Problema 14.4. Dimostrare che l'area (al quadrato) di un quadrilatero inscritto in un cerchio e circoscritto ad un secondo risulta (ABCD)² = a b c d, con a, b, c, d misure dei lati.
Dimostrazione

Problema 14.5. Dimostrare che l'area (al quadrato) di un quadrilatero circoscritto ad un cerchio risulta (ABCD)² = a b c d sen² (β + δ)/2 con β e δ angoli opposti.
Dimostrazione

Un teorema del coseno per i quadrilateri

Nella formula per l'area del quadrilatero ABCD appare un termine contenente il coseno della somma di due angoli opposti del quadrilatero. In questa sezione proponiamo un teorema che lega le lunghezze dei lati e delle diagonali appunto con il coseno della somma di due angoli opposti: in base a questo risultato, potremo successivamente riscrivere l'area in forme che non coinvolgano ampiezze angolari ma solo lunghezze di segmenti.

Teorema. In un quadrilatero convesso con lati di lunghezza a, b, c, d e diagonali pari a m e n, vale la relazione

con α e γ angoli opposti del quadrilatero.

Con riferimento alla figura 5, costruiamo sul lato AB un triangolo AEB simile a ACD e con BAE = DCA e ABE = DAC (per realizzare ciò si veda come costruire un angolo congruente ad uno dato).

Analogamente costruiamo su AD un triangolo ADF tale che DAF = BCA e ADF = CAB. Dato che AEBCDA per costruzione, vale l'uguaglianza tra i rapporti

Dalla similitudine ADFCAB discende invece

Per le medesime similitudini valgono

come

dalle quali deduciamo che EB = DF. Date le caratteristiche della costruzione gli angoli seguenti si esprimono come

EBD

=

EBA

+

ABD

=

DAC

+

ABD

e pure

FDB

=

FDA

+

ADB

=

CAB

+

ADB

per cui sommando membro a membro si ha

EBD	+	FDB	=	(DAC	+	ABD)	+	(CAB	+	ADB)
			=	(DAC	+	CAB)	+	ABD	+	ADB
			=	DAB	+	ABD	+	ADB	=	180°

e dove, per giustificare l'ultima uguaglianza, va osservato che i tre angoli coinvolti sono gli angoli interni di un triangolo. Il quadrilatero BDFE possiede pertanto lati opposti congruenti e angoli adiacenti allo stesso lato supplementari: risulta quindi un parallelogramma e, in particolare, EF = BD = n. Poiché in EAF l'angolo EAF risulta

EAF	=	360° - (EAB + BAC + CAD + DAF)
	=	360° - (ACD + BAC + CAD + BCA)
	=	360° - [(ACD + BCA) + (BAC + CAD)]
	=	360° - (BCD + BAD)
	=	360° - (A + C) = 360° - (α + γ)

oppure, a seconda degli angoli del quadrilatero (fig. 6), anche

figura 6

EAF	=	EAB + BAC + CAD + DAF
	=	BAD + BCD
	=	A + C = α + γ

possiamo applicare in EAF il teorema del coseno per ottenere il lato EF: in entrambi i casi

cos EAF

=

cos [360° - (α + γ)]

=

cos (α + γ)

per cui abbiamo

EF2

=

AE2

+

AF2

-

2 AE AF cosEAF

=

AE2

+

AF2

-

2 AE AF cos (α + γ).

Sostituendo i valori ottenuti inizialmente per AE, AF

dalla quale, moltiplicando i due membri per m² e ricordato che EF = n discende la tesi

Data la presenza di un coseno e una certa somiglianza con il teorema del coseno dei triangoli possiamo identificare questo risultato come il teorema del coseno per i quadrilateri. Ricollegandoci a quanto detto inizialmente, è immediato esplicitare il coseno: si ha pertanto

Notato che questa espressione risulta invariante se, anziché considerare gli angoli opposti α e γ si passa agli angoli, pure opposti, β e δ in quanto

diventa possibile riprendere la formula generale per l'area dei quadrilateri convessi e riscriverla eliminando il termine goniometrico. Volendo risparmiarci un po' di calcoli già svolti, utilizziamo la formula intermedia iniziale della fase 3: eliminiamo quindi la funzione goniometrica tramite la precedente

dalla quale, portando a fattore 1/16 e riducendo i termini simili, otteniamo

Raccolto a fattore un segno negativo

e osservato che il termine tra parentesi rotonde appare essere un quadrato

otteniamo

Riscritta questa formula come

appare chiaro che questa soddisfa l'obiettivo che ci eravamo prefissi: difatti in questa formula appaiono soltanto misure di lunghezze di segmenti e nessuna funzione angolare. L'espressione ottenuta (o meglio, la sua radice quadrata) viene detta formula di Bretschneider in quanto dimostrata per la prima volta nel 1842 dall'insegnante tedesco Karl Anton Bretschneider (1808-1878): essa fornisce l'area di un quadrilatero convesso qualsiasi in funzione dei lati e delle due diagonali (per quadrilateri qualsiasi, come si può facilmente sperimentare nella fig. 7, l'espressione fornisce invece il valore assoluto dell'area, intesa come discusso nell'approfondimento area di un quadrilatero qualsiasi).

Una conseguenza importante

In analogia a quanto svolto per giungere alla formula di Brahmagupta, l'applicazione del teorema del coseno discusso sopra al caso dei quadrilateri ciclici fornisce una importante conseguenza. Per questi ultimi la somma degli angoli opposti è pari ad un angolo piatto per cui

e quindi la formula del coseno diviene

che, riconosciuto a secondo membro un quadrato,

implica semplicemente

Un tale risultato lega il prodotto delle diagonali con la somma dei prodotti dei lati opposti del quadrilatero ed esprime un teorema già dimostrato, il teorema di Tolomeo per i quadrilateri ciclici.

Seconda dimostrazione della formula di Bretschneider

Della formula di Bretschneider intendiamo proporre una seconda dimostrazione basata sulle tecniche dell'algebra vettoriale. A questo scopo, con le solite convenzioni sui nomi, riprendiamo la relazione vettoriale che definisce l'area (con segno) di ABCD

figura 8

e consideriamone il suo quadrato ossia il prodotto scalare del vettore per se stesso

In base all'identità dimostrata circa il modulo di un prodotto vettoriale l'espressione precedente si riscrive

dove abbiamo sostituito vettori e moduli con la notazione usata nella precedente sezione. Cerchiamo ora di stimare il prodotto scalare m.n. Poiché i quattro vettori rappresentativi dei lati soddisfano alla

in quanto formano una poligonale chiusa mentre i vettori rappresentativi delle diagonali sono espressi dalle

discende che

Sostituendo ad a + b = -(c + d) otteniamo

Dalla prima delle (6) si ha pure a + c =  - b - d per cui passando ai quadrati

da cui ricaviamo

Ne segue per m.n

che introdotta nella (5) comporta

Dopo aver estratto un fattore 4 e scambiato il segno entro il quadrato riconosciamo infine la formula di Bretschneider

Teorema di Eulero

Partendo da alcune relazioni trattate nella precedente sezione e in altre pagine possiamo con relativa facilità giungere ad una espressione che mette in relazione le lunghezze dei lati di un quadrilatero convesso con quelle delle diagonali. Poiché in questa relazione interviene pure la lunghezza del segmento che unisce i punti medi delle diagonali, riprendiamo quanto già dimostrato circa questo vettore ponendo pure per brevità p = UV

Dimostreremo che

con il consueto significato dei simboli (m = AC e n = BD) esplicitato pure in fig. 9.

Poiché in un quadrilatero a + b + c + d = 0 moltiplichiamo scalarmente il primo membro per se stesso ricordando che, per qualsiasi vettore v, v.v = v² = v²

per cui sviluppando il primo membro tramite le usuali proprietà distributiva, associativa e commutativa del prodotto scalare, otteniamo

Cerchiamo di stimare i rimanenti prodotti scalari introducendo i vettori m, n e p per i quali valgono le seguenti relazioni vettoriali

le prime due immediatamente deducibili dalla figura 9 e già usate nella sezione precedente, le rimanenti dimostrate nel problema proposto nella pagina sul teorema di Varignon (e ricordate pure all'inizio). Riscritte queste ultime come

e moltiplicando scalarmente ciascuna di queste per se stessa giungiamo alle

dalle quali deduciamo

Sostituendo il tutto nella (8)

e semplificando i termini simili e raccogliendo a fattore d

Il termine coinvolgente ancora un prodotto scalare si può esplicitare ricordando che a + c = -(b + d) cosicché

dove si è riutilizzata l'ultima delle (9). In definitiva abbiamo quindi

ossia

e quindi

che costituisce la relazione che si voleva dimostrare. Questa viene anche detta teorema di Eulero (uno dei numerosi teoremi di Eulero!) e generalizza la relazione già trovata per un parallelogramma. Difatti per quest'ultimo le diagonali si bisecano vicendevolmente per cui p = 0 e si ritrova quanto già discusso.

Problema 14.6. I prolungamenti dei lati opposti AB e CD di un quadrilatero ABCD si intersecano in un punto E mentre le rette BC e AD si intersecano in F. Se G è il punto medio di EF e M ed N i punti medi rispettivamente delle diagonali AC e BD, dimostrare che M, N e G sono collineari.
Dimostrazione

Problema 14.7. I prolungamenti di due lati opposti di un quadrilatero ciclico si intersecano in un punto E e i rimanenti due in F. Dimostrare che le bisettrici degli angoli formati dai prolungamenti dei lati di vertici E e F sono perpendicolari.
Dimostrazione

Problema 14.8. In un quadrilatero convesso ABCD sia O l'intersezione delle diagonali e E, F e G le proiezioni di C, D, O sulla retta AB. Dimostrare che

Dimostrazione

Problema 14.9. Un quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio. Se P, Q, R e S sono gli incentri ordinatamente di ABC, BCD, CDA e DAB, dimostrare che il quadrilatero PQRS è un rettangolo. (Questo problema è anche conosciuto come il secondo teorema di Mikami e Kobayashi).
Dimostrazione

Problema 14.10. Un quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio. Se P, Q, R e S sono gli ortocentri ordinatamente di ABC, BCD, CDA e DAB, dimostrare che il quadrilatero PQRS è congruente con ABCD.
Dimostrazione

Sulla combinazione di figure

Nella pagina sui teoremi di Napoleone abbiamo discusso delle proprietà che derivano dalla costruzione di triangoli posti esternamente ai lati di un triangolo originario: in particolare abbiamo dedotto interessanti proprietà quando i triangoli costruiti sui lati erano equilateri. In questa sezione intendiamo ampliare quanto fatto e, inizialmente, combinare un triangolo con dei quadrati costruiti sui suoi lati. Successivamente, acquisite le tecniche dimostrative e definite le principali proprietà, cercheremo di estendere tale procedura anche ai quadrilateri.

A tale scopo conviene riprendere brevemente il concetto di una particolare isometria ossia fornire la definizione di rotazione e dimostrare una sua elementare proprietà. Ricordato quindi che

Definizione di rotazione di centro O e angolo α

Una rotazione di centro O e ampiezza α è una applicazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che OP = OP' e α = POP'.

e proposti in fig. 10 gli elementi della costruzione di un triangolo A'B'C', immagine secondo una rotazione di angolo α di ABC (si trascini il punto A' per osservare come varia l'immagine A'B'C')

dimostriamo che l'angolo tra una retta r e la sua immagine r' ruotata di un angolo α, è pari all'angolo della rotazione. Difatti detta r la retta definita dai due punti A e B, sia H il piede della perpendicolare tracciata dal centro O della rotazione a tale retta (fig. 11).

Se H' individua l'immagine ruotata di un angolo α del punto H (in figura H' è un punto che si può trascinare sulla circonferenza di centro O in modo da scegliere liberamente l'ampiezza di rotazione), allora la tangente in H' alla circonferenza di centro O è a sua volta l'immagine di r. Detta K l'intersezione tra r e r', è immediato notare che il quadrilatero OHKH' possiede due angoli opposti supplementari in quanto OHK + KH'O = 180°. Ne segue che anche H'OH + HKH' = 180° ma essendo H'KA supplementare di HKH' discende H'KA = H'OH.

Ricordato ciò, sui lati di ABC costruiamo tre quadrati ADEB, BFGC e CHKA aventi per centri, rispettivamente, P, Q e R (fig. 12). Dimostreremo la

Proprietà 1

QRCP e QR = CP.

In figura 13 osserviamo APC e ABH: questi triangoli possiedono gli angoli CAP e HAB congruenti in quanto somma degli stessi angoli

CAP

=

CAB + 45°

=

HAB

con BAP = HAC = 45° oppure, nel caso che sia CAB > 135° (fig. 14)

CAP

=

360° - 45° - CAB

=

HAB

figura 13

figura 14

D'altra parte, i lati corrispondenti di questi angoli sono nella stessa proporzione

AP AB

=

1

=

AC AH

in quanto lati e diagonali di quadrati. Ne segue che APCABH e, in particolare

CP BH

=

1

(10)

Inoltre questi due triangoli appaiono collegati da una rotazione antioraria di 45° di centro A in quanto il lato AC ha il suo corrispondente ruotato in AH così come AP va in AB. In base a quanto ricordato sopra, l'angolo tra le rette CP e BH misura quindi un'ampiezza di 45°.

Con osservazioni simili riconosciamo la similitudine tra CHBCRQ (fig. 15). Difatti

BCH

=

BCA + 90°

=

45° + BCA + 45°

=

QCB + BCA + ACR

=

QCR

e

CB CQ

=

CH CR

=

da cui segue che

BH QR

=

.

Moltiplicando quest'ultima relazione membro a membro con la (10) comporta

BH QR

x

CP BH

=

x

1

=

CP QR

=

1

ossia

CP = QR

che costituisce una parte della tesi. Poiché inoltre CRQ è a sua volta l'immagine ruotata di 45° in verso antiorario rispetto al centro C di CHB (immagine pure rimpicciolita), segue che le rette QR e BH formano un angolo di 45° e quindi tra la direzione originaria di CP e quella di QR dovrà esserci un angolo di ampiezza complessiva pari a 90° essendo questi segmenti collegati da due rotazioni di 45° nello stesso verso. Ciò completa la prova.

Osservazione. Imponendo che il vertice C sia allineato con B e H (si provi a trascinarlo in fig. 15) si constata facilmente come il punto di intersezione tra CP e QR debba coincidere con C. In tal caso ABC risulta un triangolo rettangolo e sappiamo che le aree dei quadrati sono collegate dal teorema di Pitagora.

Detto M il punto medio di AC (fig. 16) dimostreremo ora che pure

Proprietà 2

i segmenti PM e QM sono congruenti e perpendicolari.

Considerando i triangoli ABF e EBC (fig. 17) si può notare come l'uno sia immagine dell'altro secondo una rotazione di 90° attorno al punto B.

Difatti BC ha per immagine congruente BF, BE viene mandato in BA e ancora BE = BA e infine,

EBC

=

EBA + ABC

=

ABC + CBF

=

90° + ABC.

Quindi ABFEBC e, in particolare, AF = CE con CE che si ottiene da AF con una rotazione antioraria di 90° di centro B. Di conseguenza i lati AF e CE risultano perpendicolari.
In AEC il segmento MP congiunge i punti medi di AC e AE cosicché risulta parallelo al terzo lato EC e pari alla sua metà: MP = 1/2 CE. Ma pure MQ in AFC collega i punti medi di CA e CF per cui MQ = 1/2 AF. Data la congruenza appena osservata tra AF e CE, per transitività possiamo concludere che MP = MQ mentre, essendo entrambi questi segmenti paralleli a lati perpendicolari, è pure MPMQ c.v.d. Per un'altra dimostrazione si veda la pagina sui teoremi di Napoleone e relative conseguenze.

Combinazione di quadrilateri

Applichiamo le costruzioni appena discusse per i triangoli ad un quadrilatero convesso ABCD e siano P, Q, R ed S i centri dei quadrati costruiti rispettivamente sui lati AB, BC, CD e DA (fig. 18).

Considerati i segmenti congiungenti i centri PR e QS dimostriamo che PR = QS e che PRQS, affermazioni che costituiscono il teorema di van Aubel. A tal proposito, detto M il punto medio della diagonale BD ed evidenziati i triangoli MRP e MQS (fig. 19)

per la proprietà 2 dimostrata nella sezione precedente ed applicata a ABD, discende

MP

=

MS

con

MPMS

ossia

PMS = 90°.

Per la stessa proprietà applicata a CDB

MR

=

MQ

con

MRMQ

ossia

RMQ = 90°.

Poiché

PMR	=	PMS + SMR
	=	90° + SMR	=	SMR + RMQ	=	SMQ

i triangoli MRP e MQS risultano congruenti. Ne discende che PR = QS. Notato infine che i lati corrispondenti si ottengono uno dall'altro con una rotazione di 90° di centro M, anche PR risulta immagine di QS tramite la medesima rotazione: pertanto, per quanto detto sulla rotazione di rette, PRQS come si voleva dimostrare.

Problema 14.11. Costruiti dei quadrati esternamente ad ogni lato di un parallelogramma, dimostrare che il quadrilatero determinato dai centri di questi quadrati è esso stesso un quadrato (problema proposto da Victor Thébault nel 1937).
Dimostrazione

Problema 14.12. Dimostrare che le diagonali del quadrato ottenuto nella costruzione del precedente problema sono concorrenti con le diagonali del parallelogramma originario.
Dimostrazione

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