Il teorema di Varignon

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Presentato inizialmente il ben noto ed elementare teorema di Varignon sui quadrilateri qualsiasi, dimostriamo un teorema di concorrenza che coinvolge i punti medi delle diagonali del quadrilatero. Ripreso quindi un altrettanto noto risultato sulle aree di poligoni simili, discutiamo e generalizziamo il legame tra le aree di un quadrilatero qualsiasi e del rispettivo parallelogramma di Varignon. Infine proponiamo una interessante proprietà che ci permette di considerare il teorema in oggetto come un suo caso particolare.

Un teorema elementare

Pierre Varignon (1654-1722) fu un valente insegnante francese nei Collèges Mazarin e Royal di Parigi, amico di Jean Bernoulli cercò di conciliare i nuovi metodi dell'analisi matematica con la più tradizionale geometria euclidea. Fu membro di importanti accademie quali l'Académie Royale des Sciences, l'Accademia di Berlino e la Royal Society di Londra. Il teorema che ci accingiamo a dimostrare rientra nel novero dei teoremi elementari della geometria euclidea tanto che la data della sua prima pubblicazione negli Elemens de Mathematique, 1731 (quindi postuma), non può che sorprendere: difatti pare sorprendente che una tale proprietà sia sfuggita a tutti i geometri che precedettero Varignon.

Sia quindi ABCD un quadrilatero convesso e P, Q, R e S i punti medi dei lati (fig. 1). Dimostreremo

figura 1

Teorema di Varignon
Il quadrilatero PQRS avente per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero, è un parallelogramma.

La dimostrazione discende immediata se teniamo presente la proprietà elementare del segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo ossia come questo sia parallelo al terzo lato e pari alla metà della sua lunghezza. Tracciata quindi la diagonale AC, questa divide il quadrilatero in due triangoli, ABC e ACD, aventi in comune il lato AC (fig. 2).

figura 2

Pertanto i segmenti PQ e RS aventi per estremi i punti medi di due lati risultano entrambi paralleli al rispettivo terzo lato AC e possiedono una lunghezza pari alla sua metà. In base quindi al teorema che afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia un parallelogramma è che i lati opposti siano congruenti possiamo concludere che PQRS è un parallelogramma. Tale parallelogramma viene ovviamente identificato come il parallelogramma di Varignon.

La dimostrazione svolta rimane valida anche per quadrilateri non convessi come quello di figura 3 mentre per quadrilateri con lati che si intersecano (fig. 4) basta tracciare il segmento AC e considerarlo come lato comune di ACB e ACD: seguono poi le medesime deduzioni.

figura 3

figura 4

In conclusione, il teorema di Varignon mantiene la propria validità per qualsiasi quadrilatero.

Problema 13.1. Dimostrare per mezzo del calcolo vettoriale il teorema di Varignon.
Dimostrazione

Un teorema di concorrenza

La figura 5 mostra il parallelogramma di Varignon PQRS associato al quadrilatero convesso ABCD e le relative diagonali PR e QS. Si sono riportate poi le diagonali AC e BD di ABCD e i rispettivi punti medi U e V.

figura 5

Se ora tracciamo il quadrilatero QVSU e la sua diagonale UV, appare evidente che questo risulta ancora un parallelogramma. Inoltre variando qualsiasi vertice del quadrilatero ABCD si può osservare che il segmento che congiunge i punti medi delle due diagonali rimane concorrente con il punto di intersezione dei segmenti congiungenti i punti medi del quadrilatero (e diagonali del parallelogramma di Varignon).
Questa osservazione rimane valida anche nel caso di un quadrilatero con i lati intrecciati qual è ABCD in fig. 6 se intendiamo ancora come diagonali di ABCD i segmenti AC e BD.

figura 6

Vediamo di dimostrare questa proprietà. In base a quanto esposto sul teorema di Varignon è immediato concludere che QVSU debba essere un parallelogramma. Difatti QVSU non è nient'altro che il parallelogramma di Varignon del quadrilatero intrecciato ACBD in fig. 5 e di ADBC in fig. 6. Poiché le diagonali di un parallelogramma si bisecano vicendevolmente e il loro punto medio è unico, il punto O = PRQS risulta il punto medio anche della diagonale UV in quanto la diagonale QS è comune ai due parallelogrammi. Il punto O risulta centro comune dei parallelogrammi PQRS e QVSU. Vale quindi il

Teorema
I segmenti congiungenti i punti medi dei lati opposti di un quadrilatero e il segmento che congiunge i punti medi delle diagonali sono concorrenti e si bisecano vicendevolmente.

La retta definita dai punti medi delle due diagonali di un quadrilatero viene comunemente detta linea di Newton del quadrilatero. Più avanti presenteremo altre proprietà del segmento UV.

Rapporto di similitudine e aree

Prima di discutere dell'area del parallelogramma di Varignon riprendiamo un risultato molto noto sul rapporto tra le aree di triangoli simili. Data la sua importanza (si può estendere a qualsiasi coppia di poligoni simili) converrà riportarne la semplice dimostrazione. Siano ABC e A1B1C1 due triangoli simili e H, H1 i piedi delle altezze relative ai lati AB e A1B1 (in fig. 7 si sono costruiti imponendo, solo per semplicità, il parallelismo dei lati).

figura 7

Intendiamo esprimere il rapporto delle aree dei due triangoli in termini del rapporto di similitudine dei lati: poiché

(ABC)
(A1B1C1)
= ( 1
2
AB x CH  ) : ( 1
2
A1B1 x C1H1 ) = AB x CH
A1B1 x C1H1
= AB
A1B1
x CH
C1H1

detto k il rapporto di similitudine di ABC con A1B1C1, rapporto che sussiste pure tra AHC con AH1C1, deduciamo

AB
A1B1
= k = CH
C1H1

Il rapporto tra le aree diviene pertanto pari a

(ABC)
(A1B1C1)
= k · k = k2

per cui possiamo enunciare il

Teorema
Le aree di due triangoli simili stanno tra loro come i quadrati costruiti sugli elementi di una qualsiasi coppia di lati omologhi ossia come il quadrato del rapporto di similitudine.

Per una verifica numerica immediata, in figura 7 si riportano sia il rapporto di similitudine k sia la radice quadrata del rapporto tra le aree (per osservare come si sono introdotte le relative espressioni, si faccia un clic con il pulsante destro del mouse su ciascuna). Infine, come detto, questo risultato facilmente si generalizza ad una qualsiasi coppia di poligoni simili.

Area del parallelogramma di Varignon

Determiniamo ora l'area del parallelogramma di Varignon riferendoci, almeno inizialmente, ai quadrilateri convessi di figura 2.
Caso 1. Appare evidente che questa si può esprimere come la differenza tra l'area del quadrilatero ABCD e la somma delle aree di APS, PBQ, QCR e RDS ossia

(PQRS) = (ABCD) - (APS) - (PBQ) - (QCR) - (RDS)   (1)

Tracciate le diagonali del quadrilatero possiamo notare le similitudini

APSABD,   PBQABC,   QCRBCD,   RDSCDA,

tutte con rapporto di similitudine pari a 1/2. Pertanto per il teorema dimostrato nella sezione precedente, le aree dei triangoli soddisfano ai rapporti

(APS)
(ABD)
= ( 1
2
)2= 1
4
= (PBQ)
(ABC)
= (QCR)
(BCD)
= (RDS)
(CDA)

e la (1) si riscrive come

(PQRS) = (ABCD) - 1
4
(ABD) - 1
4
(ABC) - 1
4
(BCD) - 1
4
(CDA).

Ma

(ABD) + (BCD) = (ABCD),   (ABC) + (CDA) = (ABCD) (2)

per cui sostituendo

(PQRS) = (ABCD) -
1
4
[ (ABD) + (BCD) ] - 1
4
[ (ABC) + (CDA) ]
= (ABCD) -
1
4
(ABCD) - 1
4
(ABCD)
= (ABCD) -
1
2
(ABCD) = 1
2
(ABCD)

L'area del parallelogramma di Varignon, almeno per quelli convessi, è quindi pari alla metà dell'area del quadrilatero originario: vedremo ora se questa conclusione si può estendere anche ai quadrilateri non convessi (figg. 3 e 4).

Caso 2. Definiamo innanzitutto l'area del quadrilatero di figura 3. Ovviamente risulta

(ABCD) = (ABC) + (CDA) = (ABD) - (BDC)

ma se introduciamo la convenzione di rappresentare come negativa l'area di poligoni i cui vertici si susseguono in verso orario e positiva quella con i vertici in verso antiorario, la precedente diventa

(ABCD) = (ABC) + (CDA) = (ABD) + (BCD) (3)

del tutto analoga alla (2) valida per l'area di un quadrilatero convesso. L'area del quadrilatero concavo di Varignon (fig. 3) è espressa in tal caso dalla

(PQRS) = (ABCD) - (APS) - (PBQ) - (RDS) + (CQR)

ma essendo

(APS) = 1
4
(ABD),   (PBQ) = 1
4
(ABC),   (RDS) = 1
4
(CDA),   (CQR) = 1
4
(CBD),

otteniamo

(PQRS) = (ABCD) - 1
4
(ABD) - 1
4
(ABC) - 1
4
(CDA) + 1
4
(CBD).

Poiché risulta pure

1
4
(ABD) = 1
4
[(ABC) + (CDA) + (CBD)]

la relazione precedente si modifica in

(PQRS) = (ABCD) - 1
4
(ABC) - 1
4
(CDA) - 1
4
(CBD) - 1
4
(ABC) - 1
4
(CDA) + 1
4
(CBD)
= (ABCD) - 1
2
[(ABC) + (CDA)]

che per la (3) diviene ancora

(PQRS) = 1
2
(ABCD).

Caso 3. Non rimane che trattare anche il quadrilatero con i lati che si intersecano (fig. 8). In tal caso, volendo mantenere valide le somme (3), va sottolineato che la sua area esprime la somma algebrica delle aree dei due triangoli con vertice comune che lo costituiscono, il primo (in rosso nella fig. 8) avente area positiva, il secondo (in verde in fig. 8) con area negativa.

figura 8

Considerando il quadrilatero ACBD possiamo scrivere (è ora (PQRS) < 0)

(PQRS) = - (ACBD) + (SACR) + (SPBD) + (CQR) + (PQB)

ma ciascun addendo a secondo membro si può riscrivere in termini alternativi come

(ACBD) = (ACD) + (CBD),
(SACR) = (ACD) - (SRD) = (ACD) - 1
4
(ACD) = 3
4
(ACD),
(SPBD) = (ABD) - (APS) = (ABD) - 1
4
(ABD) = 3
4
(ABD),
(CQR) = 1
4
(CBD)
(PQB) = 1
4
(ACB)

per cui l'area di (PQRS) diviene

(PQRS) = - (ACD) - (CBD) + 3
4
(ACD) + 3
4
(ABD) + 1
4
(CBD) + 1
4
(ACB)

da cui

(PQRS) =
- 1
4
(ACD) - 3
4
(CBD) + 3
4
(ABD) + 1
4
(ACB)
(PQRS) =
3
4
[(ABD) - (CBD)] - 1
4
[(ACD) - (ACB)]

Ora, utilizzando la convenzione sul segno delle aree, possiamo notare che

(ABD) - (CBD) = (ABD) + (BCD)   e   (ACD) - (ACB) = (ABD) + (BCD)

e pertanto concludere

(PQRS) = 3
4
[(ABD) + (BCD)] - 1
4
[(ABD) + (BCD)] = 1
2
[(ABD) + (BCD)]

In definitiva, per le (3), comunque sia il quadrilatero originario ABCD, l'area del parallelogramma di Varignon (PQRS) soddisfa alla relazione

(PQRS) = 1
2
(ABCD)

In figura 8 si riportano i valori algebrici dei due membri della precedente relazione in modo da ottenere, al variare dei punti A, B, C, D, una sua immediata verifica numerica. Per comprendere le espressioni introdotte per il calcolo delle aree coerenti con la convenzione sul segno definita sopra si veda l'approfondimento "Area di un quadrilatero qualsiasi" dove si fa uso di nozioni tipiche del calcolo vettoriale.

Una curiosa generalizzazione

Il teorema di Varignon può essere visto come un caso particolare della seguente, interessante, proprietà "scoperta" solo di recente e, ancora, senza nome (proposta inizialmente da Celia Hoyles e Richard Noss).

Costruito un quadrilatero qualsiasi ABCD sia P un punto qualsiasi del piano (fig. 9). A partire da P costruiamo sulla retta AP il suo simmetrico, Q, rispetto al vertice A. Evidentemente PA = AQ. Allo stesso modo sia R il simmetrico di Q su BQ e rispetto a B. Analogamente si ottengono i punti S e T. In sostanza i quattro segmenti PQ, QR, RS e ST dipendenti evidententemente dalla scelta di P sono tali che i vertici del quadrilatero originario sono i rispettivi punti medi.

figura 9

Trascinando ora il punto P notiamo che il vettore PT mantiene inalterata la propria direzione, verso e modulo (riportiamo a lato della costruzione di figura le componenti x e y e il modulo di PT) ossia PT appare essere indipendente dalla scelta del punto P. Se invece muoviamo uno qualsiasi del vertici del quadrilatero, PT cambia a sua volta.
La dimostrazione di questa osservazione si ottiene facilmente con le tecniche dell'algebra vettoriale. Considerando ciascun lato del quadrilatero rappresentato dal rispettivo vettore, si ha che

AB + BC + CD + DA = 0

da cui ricaviamo

DA = AB + BC + CD
AD = AB + BC + CD. (4)

D'altra parte possiamo esprimere il vettore PT come la somma dei vettori costituenti la poligonale PQRST ossia

PT = PQ + QR + RS + ST

e ciascuno dei quattro vettori a secondo membro pure come

PQ = PA + AQ, QR = QB + BR, RS = RC + CS, ST = SD + DT.

Sostituendo queste ultime espressioni nella precedente risulta

PT = (PA + AQ) + (QB + BR) + (RC + CS) + (SD + DT)

e notato ancora che

AQ + QB = AB, BR + RC =BC, CS + SD=CD,

il secondo membro diviene per la proprietà associativa della somma vettoriale

PT = PA + (AQ + QB) + (BR + RC) + (CS + SD) + DT
= PA + (AB + BC + CD) + DT.

Un'ulteriore riduzione del secondo membro si esegue sfruttando la relazione (4) dalla quale otteniamo

PT = PA + AD + DT e infine PT= PT

che dimostra come, fissati i vertici A, B, C e D del quadrilatero, il vettore PT sia un invariante. Possiamo pertanto affermare che

Proprietà
ad ogni quadrilatero si può associare, con la procedura descritta, un vettore fisso, dipendente solo dai quattro vertici del quadrilatero.

Se ora muoviamo uno di questi vertici in modo da far coincidere gli estremi P e T del vettore ossia agiamo in modo tale da riportare il pentagono irregolare PQRST ad un quadrilatero o, detto in altro modo, riduciamo PT al vettore nullo, il quadrilatero ABCD diviene in tal caso un parallelogramma: ritroviamo così il teorema di Varignon dato che in tale configurazione PQRS risulta un quadrilatero e ABCD è il parallelogramma di Varignon. Alla luce di questa proprietà possiamo in definitiva interpretare il teorema di Varignon come un suo caso particolare: se quindi il vettore associato ad un quadrilatero si riduce al vettore nullo, si ottiene il teorema di Varignon.

Esplorazioni e nuove proprietà

La proprietà appena dimostrata ci suggerisce di indagare, inizialmente con gli strumenti della geometria dinamica, su quale possa essere il legame del vettore PT con il quadrilatero ABCD. Data la sua indipendenza dal punto P cercheremo un secondo vettore collegato ad ABCD e, poiché PT si riduce al vettore nullo quando il quadrilatero diviene un parallelogramma, ipotizziamo che tale vettore sia tale da annullarsi a sua volta quando succede ciò. Poiché le diagonali di un parallelogramma si dimezzano vicendevolmente mentre ciò non succede se il quadrilatero è qualsiasi, la scelta più naturale sembra quella di considerare il segmento che collega i punti medi U e V delle diagonali del quadrilatero (fig. 10).

figura 10

Ora basta trascinare un vertice qualsiasi di ABCD per scoprire che tale segmento appare sempre parallelo al vettore PT: si trascini a tal fine il punto P in modo da sovrapporre PT al segmento UV. Se poi tramite il tasto di Espressione algebrica chiediamo il calcolo del modulo di PT, della lunghezza di UV e del loro rapporto, vediamo con sorpresa che al variare delle loro lunghezze corrisponde invece una costanza del rapporto. Queste osservazioni ci portano naturalmente a questa ipotesi espressa in termini vettoriali: i vettori PT e UV sono collineari (paralleli) e i loro moduli soddisfano alla relazione |PT| = 4 |UV|. Quanto segue intende fornire la formalizzazione di questa supposizione.

Dimostrazione. La dimostrazione fa uso delle tecniche del calcolo vettoriale e procede con l'esprimere il vettore UV in termini dei vettori coinvolti nella poligonale PQRST. Innanzitutto possiamo scrivere

UV = UC + CD + DV

ma essendo

UC = 1
2
AC, DV = 1
2
DB,

la precedente diviene

UV = 1
2
AC + CD + 1
2
DB. (5)

Gli estremi dei tre vettori a secondo membro appartengono alla poligonale PQRST per cui questi si possono riscrivere come

AC = AQ + QR + RC, CD = CS + SD, DB = DT + TP + PQ + QB,

cosicché, sostituiti in (5) risulta

UV = 1
2
(AQ + QR + RC) + (CS + SD) + 1
2
(DT + TP + PQ + QB).

Tenendo presente che i vertici di ABCD sono i punti medi dei lati della poligonale, seguono le ulteriori uguaglianze

AQ = 1
2
PQ, RC = 1
2
RS, CS = 1
2
RS, SD = 1
2
ST, DT = 1
2
ST, QB = 1
2
QR,

che, assieme alla TP = -PT, permettono di ottenere

UV = 1
4
PQ + 1
2
QR + 1
4
RS + 1
2
RS + 1
2
ST + 1
4
ST - 1
2
PT + 1
2
PQ + 1
4
QR.

Questa, in base alle proprietà commutativa ed associativa della somma vettoriale, si semplifica in

UV = 3
4
(PQ + QR + RS + ST) - 1
2
PT.

Notato che

3
4
(PQ + QR + RS + ST) = 3
4
PT

abbiamo in definitiva

UV = 3
4
PT - 1
2
PT = 1
4
PT

o anche PT = 4 UV che conferma definitivamente quanto suggerito dalle sperimentazioni: i due vettori sono collineari in quanto collegati da una moltiplicazione scalare-vettore e, per la definizione di tale operazione, i loro moduli soddisfano alla relazione |PT| = 4 |UV|.

Problema 13.2. Dimostrare per mezzo del calcolo vettoriale che se U e V sono i punti medi delle diagonali AC e BD del quadrilatero ABCD, allora UV = 1/2 (AB + CD) = - 1/2 (BC + DA).
Dimostrazione


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