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Intendiamo in questa pagina dedurre alcune semplici relazioni coinvolgenti le circonferenze inscritta ed ex-inscritte ad un 
ABC. Alcune di queste dovrebbero essere già note mentre altre, più specifiche, generalmente non lo sono. Si trova quindi una relazione che lega tra loro tutti i raggi di queste circonferenze e, infine, si propone una dimostrazione della formula di Erone.
Per rendere più immediato quanto segue conviene introdurre una notazione più sintetica. Pertanto, in base alla figura seguente che rappresenta una circonferenza inscritta in un triangolo con i suoi punti di contatto con i lati,
figura 1
poniamo
| AT | = | x1 | = | AS | = | x2 | = | x |
| BT | = | y1 | = | BR | = | y2 | = | y |
| RC | = | z1 | = | CS | = | z2 | = | z |
(le dimostrazioni che x1 = x2 e simili, sono banali). Sia inoltre
| r = IR = IS = IT |
il raggio della circonferenza inscritta, AB = a, BC = b e CA = c e infine, 2p = AB + BC + CA = a + b + c il perimetro di ABC.
Dal fatto che AB = x + y, BC = y + z e CA = z + x discende subito che 2p = 2x + 2y + 2z e quindi
Quest'ultima si può riscrivere mettendo in evidenza i termini x, y e z ossia
x = p - (y + z) = p - b
e rispettivamente,
y = p - c z = p - a.
Poiché IBC possiede la base BC e altezza pari a r, risulta per l'area
| (IBC) | = | 1 2 |
BC·r | = | 1 2 |
(y + z)r |
Analogamente
| (ICA) | = | 1 2 |
(z + x)r | e | (IAB) | = | 1 2 |
(x + y)r. |
Sommando le tre aree si ottiene
| (ABC) = p·r |
che costituisce un teorema ben noto:
Consideriamo il PQR di figura, avente per vertici i centri delle tre circonferenze ex-inscritte a ABC.
figura 2
I lati di PQR sono costituiti dalle bisettrici degli angoli esterni di 
A, B, C, cosicché
Analogamente
Il punto Q di conseguenza deve aver la medesima distanza dai tre lati (o dai rispettivi prolungamenti), distanza che costituisce il raggio della circonferenza ex-inscritta di centro Q. In particolare, per questo motivo Q possiede la medesima distanza dalle rette AB e AC ossia deve appartenere alla bisettrice di A. Abbiamo quindi dimostrato
Sempre sulla base della figura si possono trarre altre conseguenze. Definiti i punti di tangenza delle circonferenze con i lati o loro prolungamenti (P1,2,3, Q1,2,3, R1,2,3), si deduce subito che
AQ1 = AQ3
essendo A un punto esterno alla circonferenza di centro Q. Inoltre
AQ1 + AQ3 = (AB + BQ1) + (AC + CQ3)
ma poiché BQ1 = BQ2 e CQ3 = CQ2, si può riscrivere
AQ1 + AQ3 = AB + BQ2 + AC + CQ2 = AB + BC + AC = 2p
per cui AQ1= AQ3= p. Per lo stesso motivo risulta BR1= BR3= CP1= CP3= p.
Come ultima conseguenza, dato che abbiamo già osservato AQ1= AB + BQ1 possiamo dedurre
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e le analoghe
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In questa sezione vediamo di determinare l'area di ABC in termini dei raggi delle circonferenze ex-inscritte. In riferimento alla fig. 2 possiamo notare che
(ABC) = (ABQ) + (ACQ) - (BQC)
per cui, detto rQ= QQ1= QQ2= QQ3 il raggio della circonferenza ex-inscritta di centro Q e basi i lati, si ha
| (ABQ) | = | 1 2 |
a·rQ | (ACQ) | = | 1 2 |
c·rQ | (BQC) | = | 1 2 |
b·rQ |
per cui
| (ABC) | = | (ABQ) + (ACQ) - (BQC) | = | 1 2 |
rQ·(AB + AC - BC) |
Sommando e sottraendo BC entro parentesi
| (ABC) | = | 1 2 |
rQ·(AB + AC + BC - 2·BC) | = | (p - BC)·rQ = (p - b)·rQ. |
Nello stesso modo si trovano le
(ABC) = (p - c)·rR = (p - a)·rP
con rP= PP1= PP2= PP3, rR= RR1= RR2= RR3.
Con il risultato appena trovato e utilizzando il teorema già dimostrato che lega (ABC) con r, raggio della circonferenza inscritta, è facile determinare il legame esistente tra quest'ultimo e i raggi delle circonferenze ex-inscritte. Difatti essendo
(ABC) = p·r (ABC) = (p - a)·rP
si ricava p·r = (p - a)·rP da cui il rapporto
| r |
= | p - a |
Procedendo nello stesso modo per le altre due circonferenze si ottengono gli ulteriori rapporti
| r |
= | p - b |
r |
= | p - c |
che sommati ordinatamente forniscono
| r |
+ | r |
+ | r |
= | 3p - a - b - c |
= | 3p - 2p |
= | 1 |
Dividendo per r, si giunge infine alla relazione
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Per giungere ad una dimostrazione, tra le numerose, della ben nota formula dell'area del triangolo in termini dei soli lati e cioè della formula di Erone, notiamo le seguenti similitudini CPP3
CIR e BPP3IBR dove, in coerenza con quanto svolto in questa pagina, P è il centro della circonferenza ex-inscritta tangente ad AB, P3 il suo punto di contatto con BC ed R punto di contatto tra il cerchio inscritto e il lato BC (fig. 3).
figura 3
La prima si giustifica in base al primo criterio in quanto triangoli rettangoli con un angolo PCP3 = ICR in comune, mentre per la seconda va osservato che BPP3 è il complementare di PBP3 a sua volta complementare di IBR in quanto la bisettrice di un angolo esterno è perpendicolare a quella del corrispondente angolo interno. Quindi vale la congruenza BPP3 = IBR. Possiamo quindi impostare la proporzione
| IR PP3 |
= | RC CP3 |
ossia, con le notazioni introdotte e i risultati già acquisiti RC = p - a e CP3 = p, abbiamo
| r rP |
= | p - a p |
(1) |
relazione già ottenuta per altra via sopra. Nel secondo caso abbiamo invece
| PP3 BP3 |
= | BR IR |
ossia (BP3 = p - b, BR = p - c)
| rP p - b |
= | p - c r |
da cui |
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Moltiplicando membro a membro quest'ultima con la (1) otteniamo
| r rP |
(r·rP) | = | r2 | = | p - a p |
(p - b)(p - c) | = | (p - a)(p - b)(p - c) p |
Moltiplicando ancora per p2 giungiamo alla
| p2r2 | = | p(p - a)(p - b)(p - c) |
dalla quale, sapendo che (ABC) = p·r, deduciamo
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che rappresenta il quadrato della formula cercata.
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