La circonferenza di Apollonio

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Sulla base dei teoremi riguardanti le bisettrici degli angoli si giunge alla definizione di divisione armonica di un segmento e al significato di gruppo armonico. Si propongono quindi alcune tecniche per costruire un tale gruppo e, dopo una discussione sui possibili valori del rapporto che ne sta alla base, si dimostra l'esistenza della circonferenza di Apollonio come luogo di punti caratterizzati da un dato rapporto con gli estremi di un segmento.

Un gruppo armonico di punti

Riprendiamo i teoremi riguardanti le bisettrici degli angoli interni ed esterni di un triangolo e cerchiamo di generalizzare una particolare relazione tra punti che si deduce dall'applicazione simultanea dei due teoremi. Assegnato ABC, siano AP e AQ le bisettrici di A e rispettivamente del suo angolo esterno DAC (fig. 1).

figura 1

Il teorema della bisettrice applicato all'angolo in A fornisce

mentre il teorema della bisettrice dell'angolo esterno ad esso adiacente permette di scrivere l'ulteriore proporzione

Dalla proprietà transitiva delle proporzioni discende infine la proporzione

che mette in luce una proprietà interessante di P e Q. Ognuno di questi punti divide il segmento BC nello stesso rapporto ossia BC viene suddiviso da ciascun punto in due parti aventi il medesimo rapporto. Il punto P divide BC in due parti che sono interne a BC, mentre il punto esterno Q definisce due segmenti uno dei quali contiene l'intero BC: si dice che lo divide esternamente. Brevemente, i punti P e Q dividono il segmento BC internamente ed esternamente nello stesso rapporto. Se poi moltiplichiamo la proporzione (1) per PC / BQ si ottiene pure

che mostra come si possano invertire i ruoli della coppia A, B con la coppia P, Q. Difatti considerando il segmento PQ come assegnato, questo viene ora diviso internamente da C ed esternamente da B, sempre nel medesimo rapporto.
Tutto ciò suggerisce di introdurre una definizione che formalizzi questo particolare tipo di legame esistente tra due coppie di punti di una retta e che prescinda da come questi sono stati ottenuti nella nostra discussione. Pertanto poniamo la seguente

Definizione

Dato il segmento AB, la coppia di punti P e Q con P interno ad AB e Q sui prolungamenti dello stesso, divide armonicamente il segmento AB se e solo se vale la proporzione

AP PB = AQ QB

Considerando fissa la coppia A e B, i due punti P e Q si dicono pure l'uno il coniugato armonico dell'altro. Comunque, data la simmetria dei ruoli delle due coppie di punti, possiamo individuare i quattro punti come un gruppo armonico o una quaterna armonica.

Un'ultima elementare osservazione: dal fatto che

e che

BAP

=

PAC

CAQ

=

QAD

discende

2PAC

+

2CAQ

=

180°

dalla quale si ha

PAC

+

CAQ

=

PAQ

=

90°

In sostanza: le bisettrici interna ed esterna sono mutuamente perpendicolari.

Varie costruzioni di un gruppo armonico

Prima di analizzare le caratteristiche della divisione armonica di un segmento forniamo dei procedimenti costruttivi di una tale quaterna. Inizialmente riterremo dati i due segmenti A₁A₂ e B₁B₂ di fig. 2 mentre intendiamo suddividere, internamente ed esternamente, il terzo segmento AB, in parti proporzionali ai segmenti A₁A₂ e B₁B₂.

Si costruisca quindi, a partire da A,

• una retta qualsiasi distinta da AB (nota: se si intende modificare in figura 2 e nelle successive, la direzione di questa retta, basta evidenziare il punto nascosto Z e muoverlo a piacere: la costruzione evidentemente non cambia e, ovviamente, i punti della quaterna armonica).
• Su questa retta riportiamo tramite lo strumento Circonferenza per tre punti il punto D tale che AD = A₁A₂.
• Successivamente tracciare la parallela ad AD per B e
• riportare, con la medesima tecnica, la lunghezza del segmento B₁B₂ in modo che sia BE = BF = B₁B₂.
• Collegare infine D con E e, ancora, D con F,
• definendo P il punto di intersezione di DE con la retta AB e Q, intersezione di DF con la medesima.

Dimostriamo che i punti P e Q sono coniugati armonicamente uno dell'altro. Difatti, per il primo criterio di similitudine

in quanto valgono le congruenze

DAP = EBP,

APD = BPE.

Ne consegue la proporzione

che mostra come P divida internamente AB nel rapporto voluto. Se ora consideriamo AQD e BQF pure questi triangoli risultano simili avendo i due angoli DAQ e FBQ congruenti in quanto corrispondenti di rette parallele e BQF in comune. Pertanto

che conferma che pure Q divide esternamente AB nel rapporto voluto. Evidentemente dalle ultime due proporzioni discende quindi

per cui P e Q dividono armonicamente AB c.v.d. Nella figura 2 si sono pure riportati separatamente i rapporti A₁A₂ / B₁B₂, AP / PB e AQ / QB per evidenziarne algebricamente l'uguaglianza. Si noti inoltre che, al variare di A e B, questi rapporti mantengono il loro valore in quanto tale rimane il rapporto A₁A₂ / B₁B₂.

Da quanto precede possiamo comunque pensare di costruire una quaterna armonica appena siano dati tre suoi punti ossia gli estremi del segmento e uno dei due punti coniugati: vediamo come si possa realizzare ciò solo con piccole modifiche alla precedente costruzione.

Come primo caso siano dati gli estremi del segmento AB e il punto interno P (fig. 3). P è quindi un punto libero della figura che evidentemente divide internamente AB nel rapporto AP / PB

Tracciata una retta qualsiasi per A e la sua parallela per B, si possono riportare due circonferenze di centro A e B e raggi, rispettivamente, AP e BP. Sia quindi D un punto di intersezione della retta per A con la circonferenza di centro A e E ed F le due intersezioni della seconda circonferenza con la retta per B. Infine, costruita la retta per i punti D e F (appartenenti al medesimo semipiano definito da AB), sia Q il punto di intersezione di questa con la retta AB. La dimostrazione che il punto Q è il coniugato armonico di P nonché il quarto armonico della terna A, B, P segue direttamente dalla similitudine dei triangoli

APDBPE

AQDBQF

in quanto la proporzione

implica, essendo BE = BF,

cioè

Il secondo caso si presenta quando sia dato il segmento AB e il punto esterno Q (fig. 4). Per ottenere il quarto armonico procediamo tracciando, al solito, una retta per A e la sua parallela per B.

Costruiamo una terza retta per Q in modo che sia D la sua intersezione con quella per A, e F con quella per B. Tracciamo ora la circonferenza di centro B e raggio BF e sia E l'ulteriore intersezione di questa con la retta BF. Colleghiamo D con E. L'intersezione P tra i segmenti AB e DE fornisce il quarto armonico interno. La dimostrazione discende dalle similitudini tra i triangoli già evidenziate cosicché

cioè

Un'osservazione (tecnica) finale: nella costruzione di figura 4 si è imposto al punto E di essere diverso da F (lo si verifichi andando ad analizzarne le proprietà con lo strumento Edita oggetto ) in modo che la costruzione rimanga valida qualsiasi sia il semipiano di appartenenza del punto D rispetto alla retta AB.

Caratteristiche della divisione armonica

Con le costruzioni proposte e la proporzione data come definizione, dovrebbe essere facile comprendere la natura della corrispondenza che lega punti che dividono armonicamente un segmento. Per esplicitarla riprendiamo la figura 3 ed aggiungiamo il punto medio M di AB (fig. 5).

Innanzitutto, se muoviamo il punto libero P all'interno di AB possiamo notare che il coniugato Q si trova sul prolungamento di AB dalla parte di B se PMB mentre se PAM, Q sta esternamente ad AB e dalla parte di A. Ciò si può dedurre anche in base alla proporzione che definisce la divisione armonica

Difatti se

PMB

AP PB

>

1

e conseguentemente

Accade il viceversa se

PAM

0

<

AP PB

<

1

cioè

AQ < QB

P può coincidere con A e il rapporto in tal caso si annulla mentre non può coincidere con l'estremo B in quanto l'annullarsi di PB toglierebbe significato al rapporto. Analogamente QB non può essere nullo. D'altra parte, poiché al tendere di P verso B i due membri della proporzione tendono ad assumere valori sempre maggiori, segue che pure Q si avvicina, dall'esterno, a B (come appare evidente dalla costruzione). È sufficiente quindi escludere la coincidenza di P (o di Q) con l'estremo B perché il rapporto rimanga significativo e assuma qualsiasi valore maggiore o uguale allo zero.

Rimane da discutere il caso in cui P coincida con M quando il rapporto a primo membro della proporzione assumerebbe valore unitario. In tal caso però il secondo membro non può essere definito: difatti essendo Q esterno al segmento AB, AQ non potrà mai essere congruente a QB: si potrà avere solo AQ > QB oppure, in alternativa, AQ < QB. Di conseguenza dobbiamo escludere che P possa coincidere con M. In effetti la costruzione in tal caso ci mostra (trascinare P in modo da sovrapporlo a M) che le due circonferenze assumono il medesimo raggio cosicché la retta DF risulta parallela ad AB e pertanto, non esiste l'intersezione di DF con AB. Possiamo solo dire che se P si avvicina a M da destra o da sinistra, Q si allontana (da una parte o dall'altra) dagli estremi del segmento AB: convenzionalmente diremo che il punto Q va all'infinito o che il coniugato armonico di M è un punto all'infinito.

Un'ultima sottolineatura: i segmenti che compaiono nella proporzione che definisce la divisione armonica sono tutti segmenti paralleli. Risulta quindi possibile riprendere la convenzione sul segno di segmenti paralleli più volte utilizzata e riscrivere la proporzione ponendo attenzione al segno di ogni rapporto. In base a ciò il primo membro risulta espresso da un valore positivo (AP e PB sono concordi) mentre il secondo darebbe un valore negativo avendo AQ un verso opposto a QB, qualsiasi sia la posizione di Q. Pertanto, tenendo conto di ciò la proporzione che lega punti coniugati armonicamente dev'essere modificata in

La circonferenza di Apollonio

Accanto ad Euclide, l'altro grande matematico greco appartenente al periodo classico, fu Apollonio (c. 262-190 a. C). Nacque a Perga, città dell'Asia Minore che fu governata da Pergamo durante tutto il periodo della sua vita. Studiò la matematica dai successori di Euclide ad Alessandria e le sue capacità matematiche erano così straordinarie che egli divenne noto, sia in vita che dopo, come "il grande geometra". Scrisse diverse opere ma la più famosa riguarda le sezioni coniche, opera composta da otto libri contenente 487 proposizioni. Nel libro III Apollonio applica il concetto di quaterna armonica al problema delle intersezioni e delle tangenze tra rette e coniche.
In questa sezione presentiamo un semplice problema nel quale interviene sia un gruppo armonico di quattro punti che una conica, in particolare la conica più elementare ossia una circonferenza. Intendiamo pertanto dimostrare che

Problema

Il luogo geometrico dei punti le cui distanze da due punti assegnati possiedono un rapporto assegnato, è una circonferenza.

Tale circonferenza viene appunto indicata come la circonferenza di Apollonio. Siano A e B i punti assegnati e R un punto del luogo tale che

con k valore assegnato. Se tale rapporto assume il valore k = 1 la risposta al problema appare immediata: il luogo dei punti le cui distanze da due punti dati sono uguali è l'asse del segmento AB. Trattato quindi questo caso elementare, supporremo nel seguito che k sia diverso da 1.

Per quanto discusso circa i possibili valori del rapporto armonico esistono certamente due punti P e Q appartenenti alla retta per AB che dividono, rispettivamente internamente ed esternamente, il segmento AB nel rapporto k (fig. 6) ossia

I punti P e Q che dividono armonicamente il segmento AB appartengono quindi al luogo cercato. Dimostriamo ora che

• i punti R che soddisfano la (1) devono appartenere alla circonferenza che ha PQ come diametro. E, viceversa,
• ogni punto di questa circonferenza verifica la condizione (1).

Partiamo dalla prima affermazione e uniamo il punto R con la quaterna armonica A, P, B e Q. Poiché valgono i rapporti sopra e, in particolare,

possiamo applicare a ABR l'inverso del teorema della bisettrice e concludere che RP è bisettrice di ARB. D'altra parte vale pure la proporzione

cosicché, il teorema inverso della bisettrice esterna permette di riconoscere in RQ la bisettrice dell'angolo esterno. Sapendo che le bisettrici interna ed esterna risultano perpendicolari, allora dev'essere PRQ = 90° qualsiasi sia R (mentre P e Q sono considerati fissi una volta assegnato k): ciò permette di concludere che il luogo di R è la circonferenza di diametro PQ.

L'ipotesi nella seconda proposizione consiste nell'appartenenza di R alla circonferenza di diametro PQ (fig. 7) mentre va dimostrato che il rapporto AR / RB è uguale a quello armonico definito da

Se R appartiene alla circonferenza di diametro PQ risulta PRQ = 90°. Tracciata quindi per P la retta parallela a RQ, siano S e T le sue intersezioni con AR e RB. Ne seguono le similitudini

APSAQR

PTBQRB

cosicché dalla prima discende la proporzione

e dalla seconda l'ulteriore

Dall'ipotesi iniziale

per cui da (2) e (3) si ottiene

dato che il denominatore nei due membri è il medesimo. Per tale motivo RP è, non solo l'altezza di RST in quanto SPR = PRQ = 90°, ma pure mediana: RST è perciò isoscele. In particolare si ha

PRS

=

PRT

cioè

ARP

=

BRP

ossia RP è la bisettrice di ARB. Per il teorema della bisettrice allora

come volevasi dimostrare. Nelle figure 6 e 7 si può trascinare il punto R e verificare in tal modo che il rapporto AR / RB rimane costante ed è quindi indipendente dalla posizione di R sulla circonferenza. Ciò conferma come questa circonferenza sia appunto il luogo dei punti cercato. La medesima espressione algebrica mostra invece come questo rapporto dipenda solo dalla posizione di P rispetto agli estremi A e B.

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