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In questa terza ed ultima pagina sulla linea di Simson dimostriamo preventivamente un teorema che collega l'angolo tra due rette con gli angoli al centro che queste formano intersecando una circonferenza. In base a ciò proviamo la costanza dell'angolo tra le linee di Simson di due triangoli inscritti nel medesimo cerchio. Infine proponiamo alcune possibili esplorazioni ed estensioni.
Nella pagina riguardante le possibili connessioni tra rette e cerchi abbiamo già discusso alcuni teoremi coinvolgenti le rette secanti ad una circonferenza o una secante ed una tangente. In quella occasione si è posto l'accento sui rapporti esistenti tra i segmenti che in tal modo si potevano definire. In questa sezione intendiamo invece dimostrare due teoremi elementari riguardanti gli angoli che le intersezioni di due rette con una circonferenza permettono di individuare. Dimostriamo pertanto il
Dimostrazione. Condotte dal punto esterno P due rette secanti la circonferenza di centro O, siano A e B le intersezioni della prima tali che PA < PB e C, D quelle della seconda (PC < PD, fig. 1)
figura 1
Per il teorema che collega gli angoli alla circonferenza con quelli al centro che sottendono lo stesso arco, è
 BCD |
= | 1 2 |
BOD |
PBC |
= | ABC |
= | 1 2 |
AOC |
Considerando che BCD è un angolo esterno di 
PBC abbiamo
BCD = BPC + PBC
e quindi
BPC = BCD - PBC
e in definitiva, sostituendo
| BPC |
= | BCD |
- | PBC |
= | 1 2 |
BOD |
- | 1 2 |
AOC |
= | 1 2 |
(BOD - AOC) |
che coincide con la tesi.
Questo teorema si può facilmente estendere al caso che una delle due rette (o entrambe) sia tangente alla circonferenza per cui l'enunciato si modifica in
A parte il caso banale che considera il punto P appartenente alla circonferenza, rimane da trattare l'eventualità che il punto P sia interno alla circonferenza. Affrontiamo quindi questa situazione (fig. 2).
figura 2
L'angolo cui siamo interessati APC è esterno a APD per cui
APC = DAP + ADP
ma
| DAP |
= | DAB |
= | 1 2 |
BOD |
ADP |
= | ADC |
= | 1 2 |
AOC |
cosicché, si ottiene facilmente
| APC |
= | 1 2 |
BOD |
+ | 1 2 |
AOC |
= | 1 2 |
(BOD + AOC) |
In definitiva possiamo affermare il
Riferendoci alla figura 16 della pagina iniziale sulla linea di Simson osserviamo con attenzione cosa succede al variare di uno dei quattro punti A, B, C e D, tutti appartenenti alla medesima circonferenza e quindi ciclici. In effetti, trascinando per esempio D, si osserva che l'angolo tra due linee di Simson (quelle di color rosso e marrone) rimane costante. Vediamo di capire perché ciò avviene.
Consideriamo per generalità due triangoli ABC e DEF entrambi inscritti nel medesimo cerchio ed un punto P sulla circonferenza circoscritta. Questo punto determina due linee di Simson, una per ciascun triangolo e la costruzione di figura 3 evidenzia immediatamente che al variare di P l'angolo tra queste due linee rimane costante (si provi ad "animare" P tramite 
).
figura 3
Siano Q ed U le intersezioni delle rette perpendicolari rispettivamente ad AC e DE con la circonferenza circoscritta (fig. 4). Per quanto già visto, sappiamo che le linee di Simson del punto P rispetto a ABC e DEF sono parallele rispettivamente a BQ e FU. Detta quindi T l'intersezione tra queste due rette (T = BQ
FU), determineremo QTU.
figura 4
Nascoste quindi le due linee di Simson siano:
Osserviamo che, in base alla costruzione originaria di figura 4 il punto T è interno al cerchio quindi l'angolo QTU, per il teorema dimostrato nella precedente sezione risulta espresso da
| QTU |
= | 1 2 |
(QSU + BSF) |
(1) |
Ora, dei due angoli coinvolti nella precedente espressione solo QSU varia al variare di P mentre BSF rimane costante. Cerchiamo quindi di esprimere QSU in termini di grandezze indipendenti da P. Colleghiamo innanzitutto QSU con il relativo angolo alla circonferenza
QSU = 2QPU.
D'altra parte i due triangoli PKB1 e KJF1 sono simili in quanto rettangoli in B1 e F1 con PKB1 = F1KJ in quanto opposti al vertice. Pertanto è anche
QPU = KJF1
e quindi
QSU = 2·KJF1.
L'angolo KJF1 è quello formato dalle secanti il cerchio in un punto esterno J cosicché diventa applicabile il primo teorema dato sopra. Ne segue
| KJF1 |
= | 1 2 |
(ESC - ASD) |
che con la precedente conduce alla
QSU = ESC - ASD.
La (1) diventa in tal caso
| QTU |
= | 1 2 |
(ESC - ASD + BSF) |
che dimostra l'indipendenza da P dell'angolo: difatti vi sono coinvolti solo angoli dipendenti dai vertici dei due triangoli e dal centro S del cerchio. Infine va notato che, se il punto di intersezione T risultasse esterno, la linea della dimostrazione a parte l'ordine di applicazione dei due teoremi sopra non muterebbe, e nemmeno il risultato.
Possiamo comprendere ora l'osservazione sperimentale iniziale. In effetti, muovendo un punto della fig. 16, per esempio D (o C) questo equivale a far variare un vertice di ACD mentre il punto pedale B rimane fermo. I ruoli di punto pedale e vertice di un triangolo sono in tal modo invertiti: si ottiene comunque una linea di Simson che è funzione della posizione di un vertice. Contemporaneamente D è pure vertice del BCD mentre questa volta il ruolo di punto pedale fisso viene assunto da A: le due linee di Simson corrispondenti mantengono inalterato l'angolo tra esse.
Perché costruire da un punto P appartenente alla circonferenza circoscritta le perpendicolari ai lati di un triangolo? L'allineamento dei punti evidenziato dalla linea di Simson sussiste ancora se tracciamo delle rette da P che formino con le rette dei lati del triangolo un angolo dato ma diverso dai 90°? Nella sperimentazione si tenga presente la costruzione di un angolo congruente ad uno dato.
Anziché "animare" il punto P sulla circonferenza circoscritta, perché non muovere P su una circonferenza ad essa concentrica? Potrebbe essere interessante studiare, al variare di P e in corrispondenza di diversi raggi della nuova circonferenza, il comportamento del triangolo pedale.
E se invece fosse la circonferenza inscritta il luogo dove animare P? O una delle ex-inscritte?
Un'ultima curiosa proprietà verificabile con una costruzione e che, nella geometria proiettiva, assume un particolare significato. Al solito, P appartenga alla circonferenza circoscritta al ABC. Considerata la retta AP, costruire la retta simmetrica rispetto alla bisettrice di A. Si ripeta la costruzione ottenendo le simmetriche delle rette BP rispetto alla bisettrice di B e CP rispetto alla bisettrice di C. Sorpresa finale: le tre rette sono parallele!
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