L'infinitagono

Si tratta della figura limite che si ottiene con un procedimento infinito a partire da una figura geometrica base, nel nostro esempio un quadrato. Su ogni lato del quadrato si costruisce un quadratino avente il lato pari ad un terzo di quello iniziale, ottenendo così il poligono n.2, avente in tutto 20 lati. Si ripete il procedimento su ognuno dei lati ottenuti, costruendo dei quadratini di lato 1/9 di quello iniziale (fig. 3, 100 lati) , poi di 1/27 (fig. 4, 500 lati) e così via all'infinito. Si ottiene una figura limite che ha area doppia rispetto a quella del quadrato iniziale ed un perimetro infinitamente lungo! Il calcolo dei valori si effettua utilizzando un procedimento in serie, sfruttando le proprietà della serie geometrica. Per l'area si ottiene il seguente sviluppo,
A1 = L2,
A2= L2+4(L/3)2,
A3 = L2 + 4(L/3)2 + 20(L/9)2
Per lo sviluppo completo si ha
Area = L2 + 4(L/3)2 + 20(L/9)2 + 100(L/27)2 + ...
= L2[1+4(1/9+5(1/9)2+25(1/9)3+...)] =
=L2[1+4/5(5/9+(5/9)2+(5/9)3+...)] =
= L2[1+4/5(1/(1-5/9)-1)] = L2[1+4/5(9/4-1)] =
=L2[1+4/5(5/4)] = L2(1+1) = 2L2.
L'area della figura limite e' dunque il doppio di quella del quadrato di partenza.
Per il perimetro si ha P1 = 4L, P2 = 4(5L/3), P3 = 4(25L/9), ..., Pk = 4L(5/3)k,...,
Si ottiene una serie divergente cioè un perimetro di lunghezza infinita.
Oltre alle interessanti proprietà geometriche la figura che si ottiene ha anche notevoli proprietà analitiche. Per esempio, se si guarda all'infinitagono come ad una funzione, essa risulta continua in ogni suo punto ma non derivabile in alcuno di essi, presentando infiniti punti angolosi!