Teorema della somma

Teorema: se due grandezze A e B ammettono limite al tendere di X a Xo allora la loro somma ammette pure limite e tale limite è pari alla somma dei limiti di A e B.

dimostrazione: siano i due limiti

lim A = h; e lim B = k esplicitando la definizione di limite risulta, per ogni coppia di numeri reali positivi (E1, E2), che è possibile determinare un numero reale positivo d, dipendente da E1 ed E2, per cui esiste un intorno di Xo |X-Xo| < d tale che, per ogni X appartenente all'intorno, |A-h| < E1 e |B-h| < E2 esplicitando i moduli si ottiene -E1 < A-h < E1 e -E2 < B-h < E2 sommando si ha, sempre nello stesso intorno -E1 -E2 < A+B-h-k < E1+E2 introducendo C=A+B, m=h+k, E=E1+E2 si ottiene, nell'intorno I(Xo), per ogni E reale positivo, -E < C-m < E ovvero |C-m| < E che equivale a dire che il limite di C e' m lim C = m lim A+B = h+k

c.v.d.

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