Criteri di convergenza
Consideriamo come esempio la serie
1+4/(1!)+16/(2!)+64/(3!)+...
il cui termine generico e'
uk=(4^k)/(k!)
applicando il criterio del rapporto si ottiene il limite, per k tendente all'infinito,
lim (4^k)/(k!)/(4^k-1)/(k-1!) =
= lim 4/k = 0
e pertanto la serie è convergente.
E' ovviamente possibile che i termini della serie non siano semplicemente dei numeri ma espressioni più complesse,
come si vede dal prossimo esempio. Studiamo le proprietà della serie
S=x+x²/2+x³/3+...
calcolando il limite, per k tendente all'infinito, del rapporto di due termini successivi otteniamo
= lim x(1-1/k) = x
e la serie converge se tale limite è p < 1. Pertanto avremo una serie convergente per 0 < x < 1 e divergente per x > 1.
Per x = 1 si ha un caso dubbio, che tuttavia
può essere subito risolto, notando che la serie si riduce ad una serie armonica e quindi divergente.
Per x = 0 si ha una serie con tutti i termini nulli e quindi convergente al valore S = 0.