Teorema del quoziente

Teorema: se due successioni An e Bn ammettono limite ed il limite della seconda è diverso da zero, anche il loro quoziente ammette limite, pari al quoziente dei limiti.

dimostrazione: siano i due limiti

lim An = A; e lim Bn = B, con B diverso da 0 cio' vuol dire che i termini generici si possono scrivere come la somma del loro limite + grandezze infinitesime An=A+a; Bn=B+b, con a,b infinitesimi calcoliamo l'espressione (An/Bn)-(A/B) (An/Bn)-(A/B) = ((A+a)B-A(B+b))/(B(B+b) = = (AB-Ba-AB-Ab)/(B²+Bb) = si ottiene cosi' (An/Bn)-(A/B) = (Ba-Ab)/(B²+Bb) Il termine al numeratore del II membro è un infinitesimo, mentre il denominatore, a causa del termine B², è finito (si ricordi che si suppone B diverso da zero); dunque il II membro è un infinitesimo. Tale è pertanto anche il I membro, cioè la differenza tra il rapporto dei termini delle successioni ed il rapporto dei limiti. Questo implica che il limite del rapporto è proprio A/B.

c.v.d.

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