L'induzione matematica

La matematica ha nel metodo deduttivo uno dei suoi pilastri più solidi. Non è invece ammesso il metodo induttivo, usato in altre scienze, basato sull'estrapolazione di una legge a partire da casi particolari. Fa eccezione il metodo dell'induzione matematica. Esso si basa sulla seguente logica:

a) si costruisce una serie di classi ordinate secondo un parametro intero n.
b) si dimostra che se una affermazione è valida per la classe n allora essa e valida anche per la classe n+1.
c) si dimostra che l'affermazione è vera per la prima classe, di solito distinta dal valore n=1 del parametro. Per induzione la proprietà risulta allora valida per tutte le classi.

Spieghiamo il metodo con un esempio: vogliamo dimostrare che è valida l'equazione

1+3+5+...+(2n-1)=n²

Supponiamo vero il risultato per n=k e dimostriamo che è vero per n=k+1; infatti

1+3+5+...+(2k-1)+2(k+1)-1=(k+1)²

1+3+5+...+(2k-1)+2k+2-1=k²+2k+1

1+3+5+...+(2k-1)=k²

che è l'affermazione che abbiamo supposto vera per k=n. D'altronde il teorema è senz'altro vero per n=1 in quanto si ha banalmente 1=1²; siamo dunque nelle condizioni per poter concludere, per induzione, che l'affermazione è vera per ogni n.

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