Il metodo deduttivo

Uno dei cardini del pensiero matematico è costituito dal metodo deduttivo. Esso ha costituito una guida sicura per lo sviluppo del pensiero matematico per oltre duemila anni, essendo già stato assunto come sistema nella geometria degli antichi greci. In tale metodo vengono accettate come vere solo quelle affermazioni che possono essere dimostate (dedotte) sulla base di altre affermazioni già dimostrate (teoremi) o di affermazioni assunte come vere senza dimostrazione (postulati o assiomi). I postulati, le regole di deduzione, i teoremi devono essere espressi in modo chiaro e non ambiguo. Unica eccezione a tale criterio è l'uso del metodo dell'induzione completa, che comunque non deve essere confuso con il comune metodo induttivo usato in altre scienze.

- Gli uomini biondi (Mario; Andrea; Giorgio;...)

- I numeri dispari (1;3;5;7;...)

- Le lettere dell'alfabeto (A;B;C;...)

Nel seguito saremo ineressati agli insiemi numerici. Il primo e più semplice è quello degli interi, che indicheremo con N:

- L'insieme dei numeri interi N = (1;2;3;4;5;...)

Se consideriamo anche gli interi negativi e lo zero abbiamo l'insieme Z:

- Gli interi relativi Z = (...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...)

L'insieme delle frazioni viene indicato con la lettera Q e prende il nome di insieme dei razionali, esso contiene come sottoinsieme quello degli interi:

- I numeri razionali Q = (...;-2/1;-3/2;-1/1;0;1/2;1/3;...)

Le frazioni non esauriscono tutti i numeri possibili; ne esistono alcuni che non si possono scrivere sotto forma di frazione, come alcuni radicali ed i numeri trascendenti. Tali numeri sono detti irrazionali e possono essere rappresentati sotto forma di numeri decimali illimitati non periodici:

- I numeri irrazionali I = (...;-rad(3);-rad(2);rad(5);e;pigreco;...)

Unendo gli insiemi dei razionali e degli irrazionali si ottiene l'insieme dei numeri reali:

- Insieme dei numeri reali R = Q U I.

Le definizioni e i teoremi che useremo nel seguito riguarderanno principalmente grandezze definite in questo ultimo insieme. Tutta l'analisi matematica è in realtà basata sulla Teoria dei numeri reali, per una esposizione della quale rimandiamo a [1].

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