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Formule goniometriche
Deduzione delle principali identità goniometriche
Lorenzo Roi
Copyright 2006 www.lorenzoroi.net
Premessa
Questo notebook presenta le deduzioni delle principali identità goniometriche a partire dalle definizioni delle funzioni ,
e
introdotte invece nel notebook IntroduzioneFunzGonio e sostanzialmente indipendente da questo. A partire dall'identità fondamentale della Goniometria si trattano quindi i valori delle funzioni goniometriche di angoli associati per passare poi, con il supporto di un'animazione grafica, alle formule di addizione e sottrazione e relative conseguenze. Si ottengono infine le formule di Werner e prostaferesi.
Nota didattica
Poiché Mathematica procede in automatico ad elaborare argomenti numerici o simbolici di funzioni nonché valori delle stesse fornendo di norma i risultati del calcolo senza presentare i passaggi intermedi, tale caratteristica ovviamente utile in numerose occasioni diventa al contrario un condizionamento tutte le volte che si intende sviluppare un graduale processo deduttivo nel quale l'uso di manipolazioni algebriche di un'espressione conduca alla dimostrazione di un asserto. Se ad esempio si considera il semplice input seguente
Mathematica semplifica automaticamente il primo membro riducendolo a per cui, essendo uguale al secondo, fornisce in output l'esito del confronto con True. In ambiti opportuni può invece essere conveniente mantenere l'input, o parti di esso, inalterato nell'output. In sostanza, Mathematica sembra inadatto in quelle situazioni, peraltro attività comune per l'insegnante, dove all'importanza o all'utilità dei risultati si affianca pure l'obiettivo di una loro documentata deduzione.
Nota tecnica
Questo notebook rappresenta sostanzialmente una sperimentazione personale attorno ad alcune funzioni raramente usate in Mathematica allo scopo di poter, in qualche modo, aggirare l'ostacolo accennato nella nota precedente. Pur esistendo in Internet alcuni interventi su queste problematiche (non molti per la verità) sotto forma di notebook o package e certamente più ampi e approfonditi di questo tentativo, ho preferito non utilizzarli per provare soluzioni più limitate e controllabili anche se meno generali. Il processo di calcolo di Mathematica è pertanto stato aggirato creando gradualmente una base di regole per le "nuove" funzioni sen[], cos[] e tan[] evitando di utilizzare le funzioni predefinite Sin[], Cos[] e Tan[]. Quando opportuno, si è "congelato" momentaneamente l'automatismo di calcolo di Mathematica con la funzione HoldForm per poi riattivarlo con una funzione (rilascia) creata ad hoc. In ogni caso si è cercato di sviluppare un insieme di funzioni minimale allo scopo.
I comandi che vanno eseguiti prima di procedere alle varie deduzioni sono quelli contenuti nella sezione Funzioni di base e quelli inseriti all'inizio di ogni sezione e compresi in Identità dimostrate. Altre brevi informazioni sulle funzioni implementate si trovano sotto forma di commenti nella sezione che segue.
Funzioni di base
Le seguenti funzioni vanno elaborate per poterne disporre in seguito nel notebook.
Identità fondamentale
Istruzioni grafiche
Grafico e definizioni relative all'angolo α
Dimostrazione dell'identità fondamentale
Riportiamo le definizioni di carattere geometrico delle principali funzioni goniometriche discusse in un precedente notebook e, assieme, forniamo le relazioni che le legano tra di loro al medesimo angolo . I segmenti
e
vanno considerati come segmenti orientati (o componenti del vettore
).
è invece la misura (positiva) del raggio della circonferenza associata al sistema cartesiano di figura (o anche il modulo di
). È questo l'insieme di "regole" da cui iniziamo.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
L'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo permette di scrivere
per cui sostituendo le espressioni di e
dedotte dalle definizioni di seno e coseno si ha
Eliminando ora il termine comune ai due membri si ottiene
relazione che costituisce l'identità fondamentale della Goniometria.
Funzioni goniometriche in termini di una di esse
Identita dimostrate
Nota la funzione
Per determinare il coseno e la tangente in termini del seno dello stesso angolo facciamo uso dell'identità appena dimostrata esplicitando dapprima il coseno ossia sottraendo ad entrambi i membri
L'estrazione della radice quadrata fornisce
ma dato che risulta
La funzione tangente invece si ottiene partendo dalla
e considerandola in valore assoluto
Sostituendo il risultato precedente giungiamo alla relazione cercata
Nota la funzione
In modo del tutto analogo si procede se si intende esprimere il seno e tangente in termini del coseno: riportiamo senza commento la procedura.
Nota la funzione
Ritenendo conosciuto il valore di iniziamo dalla evidente identità
e riscriviamo il denominatore () del secondo membro sfruttando l'identità fondamentale
Dividiamo ora il numeratore e denominatore del secondo membro per supponendo quindi che
Applicando la proprietà distributiva e sapendo che otteniamo
da cui l'estrazione della radice quadrata in entrambi i membri fornisce
per cui risulta
Con la stessa successione di passaggi si ottiene il valore assoluto del coseno in termini della tangente: sinteticamente
Identità dimostrate
In definitiva abbiamo ottenuto le seguenti identità in termini dell'angolo
idFondamentale | ![]() |
cosNotosen | ![]() |
tanNotosen | ![]() |
senNotocos | ![]() |
tanNotocos | ![]() |
senNototan | ![]() |
cosNototan | ![]() |
Nel seguito riprenderemo, di queste, solo l'identità fondamentale in quanto solo questa si dimostrerà necessaria.
Angoli associati e relative identità
Angoli complementari
Istruzioni grafiche
Grafico
Identità dimostrate
Seno di un angolo complementare
Sia l'ampiezza di un angolo orientato. Questo individua nella circonferenza
con centro nell'origine
di un sistema cartesiano il triangolo
. In fig. 2
, per comodità, appare un angolo compreso nel I quadrante (in rosso) ma le relazioni che dedurremo si dimostrano valide qualsiasi sia il suo valore. L'angolo complementare, di ampiezza
che si associa ad
definisce a sua volta il triangolo
: siamo interessati ad esprimere le funzioni goniometriche di quest'ultimo in termini di quelle dell'angolo
. Dalla definizione discende quindi che
ma la congruenza tra i triangoli comporta che si abbia, anche in segno,
e
. Pertanto sostituendo queste uguaglianze nella precedente
Ma per la definizione delle funzioni goniometriche relative all'angolo , in particolare quella del coseno, risulta che
Identità dimostrate
Coseno di un angolo complementare
Procediamo nello stesso modo per determinare in termini di funzioni dell'angolo
.
Osservata la validità di (fig.2) discende
e utilizzando la definzione di
Identità dimostrate
Tangente di un angolo complementare
Infine, la definizione di tangente per l'angolo complementare comporta l'uguaglianza
ma la congruenza dei triangoli già esposta assicura che e
(fig. 2) per cui
che è equivalente alla
Per la definizione di tangente risulta anche
da cui, dividendo per
che si può riscrivere nei due modi seguenti
In alternativa
per cui sfruttando le identità già dimostrate per seno e coseno, riesce
Abbiamo pertanto dimostrato le identità:
Angoli che differiscono per un angolo retto
Identità dimostrate
Istruzioni grafiche
Grafico
Seno di un angolo che differisce di
Angoli che differiscono per un angolo retto danno origine alla configurazione geometrica di fig. 3. Ancora è soddisfatta la congruenza di tipo geometrico mentre, osservando i versi delle componenti, risulta
e
. Ne segue
che si riscrive
e, in base alla definizione, risulta
Identità dimostrate
Coseno di un angolo che differisce di
Dalla definizione
ma per quanto osservato sopra nel caso del seno diviene
per cui
Identità dimostrate
Tangente di un angolo che differisce di
Con le medesime osservazioni e iniziando dalla definizione
risulta che l'espressione precedente si modifica in
da cui, moltiplicando per il reciproco del secondo membro
si ottiene un'espressione dove appare la definizione di
Dividendo per tale funzione si ha
che si può riscrivere anche come
Riassumiamo in riquadro quanto ottenuto
Angoli supplementari
Istruzioni grafiche
Grafico
Identità dimostrate
Seno di un angolo supplementare
Ancora una volta l'espressione delle funzioni goniometriche di un angolo associato ad , in tal caso l'angolo supplementare, si basa sull'osservazione della congruenza dei triangoli individuati dai lati terminali dei due angoli, nel caso in esame,
e
(fig. 4). Valgono pertanto le relazioni tra componenti
e
e di conseguenza discende
Identità dimostrate
Coseno di un angolo supplementare
Nello stesso modo
Identità dimostrate
Tangente di un angolo supplementare
Infine, la definizione di tangente implica
e le osservazioni fatte inizialmente permettono di riscriverla come
da cui
Abbiamo dimostrato quindi le ulteriori tre relazioni
Angoli che differiscono di π
Istruzione grafiche
Grafico
Identità dimostrate
Seno di un angolo che differisce di π (angolo explementare)
Con riferimento alla fig. 5 osserviamo al solito modo che così come
. Poiché per definizione risulta
le precedenti danno luogo alla
e quindi, riprese le definizioni per l'angolo , segue
Identità dimostrate
Coseno di un angolo che differisce di π (angolo explementare)
La definizione di coseno implica per l'angolo explementare (fig. 5)
ma le relazioni tra componenti già discusse permettono di scrivere
da cui
Identità dimostrate
Tangente di un angolo che differisce di π (angolo explementare)
Infine sfruttando ancora la definizione di tangente
e le relazioni tra componenti
risulta
Questa identità conferma e dimostra la periodicità della funzione tangente: il suo periodo è pari a .
In definitiva abbiamo che le funzioni goniometriche di angoli esplementari sono collegate a quelle dell'angolo originario dalle seguenti identità
Angoli opposti
Grafico
Grafico
Identità dimostrate
Seno di un angolo opposto
Dalla congruenza più volte notata discende ora
e
(fig. 6). Ne deriva che
Questo risultato, valido per stabilisce che la funzione seno è una funzione dispari: il suo grafico risulta pertanto simmetrico rispetto all'origine di un sistema cartesiano che abbia in ascissa la variabile angolare
e in ordinata il valore
.
Identità dimostrate
Coseno di un angolo opposto
Analogamente a quanto finora visto e in base alla configurazione di fig. 6
Anche questa identità, valida per codifica una proprietà importante della funzione coseno: questa è una funzione pari con grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate del sistema cartesiano associato all'equazione
.
Identità dimostrate
Tangente di un angolo opposto
Per la definizione di tangente e in base a quanto osservato precedentemente
Come già visto per la funzione seno, poiché l'identità precedente vale per stabilisce che pure la funzione tangente è una funzione dispari con grafico quindi simmetrico rispetto all'origine di un sistema cartesiano con in ascissa la variabile angolare e in ordinata il valore di
.
Abbiamo ottenuto quindi
Introduzione grafica e prima identità
Analisi grafica
Affrontiamo in questa sezione la dimostrazione dell'identità che lega il coseno di una differenza di angoli alle funzioni goniometriche degli angoli stessi. In base a questa relazione sarà possibile dedurre una (lunga) serie di identità che specificano di volta in volta nuove proprietà delle funzioni goniometriche.
Definiamo nella circonferenza goniometrica i due angoli
e
, il primo indicato in giallo nella figura sottostante e tale da ricoprire un intero settore circolare di
e il secondo in verde.
I lati non coincidenti con il semiasse positivo delle di questi angoli intersecano la circonferenza nei due punti,
e
.
Istruzioni grafiche
Grafico
Dal punto di vista geometrico, la differenza appare come l'angolo evidenziato in color rosso. Poiché le convenzioni sugli angoli in goniometria impongono di trattare questi con un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, eseguiamo una rotazione attorno all'origine pari all'angolo
in modo da riportare quest'angolo nell'ambito convenzionale corretto.
Istruzioni grafiche
Animazione
Appare evidente come in tale rotazione il punto , alla fine, vada a coincidere con il punto
di fig. 8 mentre il punto
a sua volta ha per immagine finale il punto
.
In particolare, essendo le rotazioni delle isometrie, la lunghezza della corda rimane invariata cosicché possiamo porre in relazione la lunghezza del segmento originario
con quella della sua immagine
: queste lunghezze sono uguali per cui vale
oppure, elevando al quadrato
Istruzioni grafiche
Grafico
Formula di sottrazione per il coseno
Identità dimostrate
Dimostrazione
Poiché i punti ,
,
e
sono descritti dalle coppie ordinate
ne segue che i quadrati dei segmenti dPQquadro e dDAquadro in termini degli angoli e
risultano
PQquadrato = | ![]() |
DAquadrato = | ![]() |
Posti, per quanto visto, uguali ne discende l'equazione
Possiamo ora eseguire i quadrati coinvolti nei due membri
e quindi utilizzando l'identità goniometrica fondamentale , ridurre l'equazione alla forma equivalente più semplice
Sottraendo ad entrambi i membri
e, dopo aver diviso per , scambiamo i due membri e semplifichiamo
In definitiva siamo giunti a dimostrare la validità dell'espressione
Il coseno di una differenza è pertanto, ben diverso dall'aspettativa ingenua che lo "vorrebbe" pari alla differenza dei coseni! In termini più formali questa identità (e le analoghe seguenti) dimostrano che le funzioni goniometriche non sono delle funzioni lineari dei propri argomenti.
Formule di addizione e sottrazione
Identità dimostrate
Formula di addizione per il coseno
La precedente identità collega il coseno della differenza di due angoli e
con le funzioni goniometriche di questi e costituisce la formula di sottrazione per il coseno. Questo risultato si può facilmente estendere e in questa sezione otterremo, per prima, la corrispondente formula di addizione e successivamente le formule di addizione e sottrazione per seno e tangente. A tal fine sostituiamo nell'identità appena dimostrata
all'angolo l'angolo
Tenendo presente quanto già dimostrato ossia che il seno è una funzione dispari valendo mentre il coseno è pari dato che
, l'espressione precedente diviene
Il coseno della somma in termini delle funzioni di e
risulta quindi
Formule di addizione e sottrazione per il seno
Identità dimostrate
Seno della differenza
Sfruttiamo l'identità per dedurre la formula di sottrazione per la funzione seno.
e, in base alla proprietà associativa, riscriviamo il secondo membro sostituendo a
Possiamo ora applicare la formula di addizione per il coseno appena ottenuta
e ritornando ad esprimere in termini di
Per l'identità già ricordata e per quella analoga riguardante il seno di angoli complementari , la precedente fornisce
che è quanto si voleva ottenere.
Identità dimostrate
Seno della somma
Nello stesso modo seguito per il coseno, sostituiamo a l'angolo
Per le proprietà di simmetria del seno e del coseno,
, otteniamo
Riassumiamo in un'unica espressione le due identità dimostrate
intendendo che i segni vanno considerati nell'ordine indicato ossia il segno superiore a primo membro va associato al segno superiore a secondo e così per quello inferiore.
Formule di addizione e sottrazione per la tangente
Identità dimostrate
Tangente della somma
Sfruttiamo le identità appena trovate per dimostrare quelle coinvolgenti la tangente di una somma o di una differenza. Poiché la tangente di un angolo si può esprimere come il rapporto tra il seno e il coseno, abbiamo
Sviluppiamo il numeratore e denominatore della precedente utilizzando le formule di addizione per il seno e coseno
Supponendo cioè
, dividiamo numeratore e denominatore del secondo membro per tale termine
e quindi semplificando e tenendo conto della definizione di tangente in termini del seno e coseno, gli elementi coinvolti a secondo membro divengono rispettivamente
che è la formula cercata.
Identità dimostrate
Tangente della differenza
Per ottenere la formula corrispondente e relativa alla differenza degli angoli, procediamo alla sostituzione
Ricordando che la tangente è una funzione dispari che soddisfa quindi alla identità giungiamo infine alla
In definitiva le formule di addizione e sottrazione per la tangente sono
Formule di duplicazione
Identità dimostrate
Formule di duplicazione per seno coseno e tangente
Dall'insieme delle formule discusse finora possiamo derivare facilmente un altro gruppo di importanti identità goniometriche. Iniziamo da quelle di duplicazione, formule che collegano le funzioni goniometriche dell'angolo con quelle dell'angolo
.
Partendo dalla
basta porre per ottenere quanto si voleva
Analogamente per il coseno si ottiene immediatamente
Tenendo conto dell'identità goniometrica fondamentale quest'ultima si può riscrivere anche in termini alternativi appena si sostituisca
oppure ancora, in base alla , si ottiene una terza forma
Infine la formula di addizione per la tangente
fornisce con la sostituzione l'espressione cercata
Le formule di duplicazione sono pertanto
Formule di bisezione
Identità dimostrate
Formule di bisezione per seno, coseno, tangente
In modo inverso rispetto alle formule di duplicazione, quelle di bisezione esprimono le funzioni goniometriche di un angolo in termini dell'angolo doppio. Iniziamo sfruttando una delle tre forme della formula di duplicazione per il
ed esplicitiamo il in funzione del
L'estrazione della radice quadrata comporta
e quindi ricordando che il primo membro rappresenta un valore assoluto, l'espressione diventa
Sostituendo ad l'angolo
otteniamo quanto richiesto
Si tenga presente che per utilizzare proficuamente formule di questo tipo, contenenti il valore assoluto di una funzione goniometrica, sarà necessario conoscere il quadrante dell'angolo così da riconoscere il segno della funzione ad argomento e "aprire" il valore assoluto.
Abbiamo in sostanza dimostrato
Partendo invece dalla forma
esplicitiamo il
e quindi l'estrazione della radice quadrata conduce alla
ossia
Eseguiamo infine la sostituzione per ottenere la scrittura canonica per tale identità
Volendo giungere anche alla formula di bisezione per la tangente è sufficiente eseguire il rapporto, membro a membro, delle due identità appena trovate: ovviamente quanto si deduce vale nell'ipotesi che il denominatore sia diverso dallo zero (). Difatti
Possiamo quindi porre
Le tre identità ottenute sono in conclusione
Formule parametriche razionali
Identità dimostrate
Formule parametriche razionali di seno, coseno e tangente
Le formule che dimostreremo in questa sezione si mostrano utili in diverse occasioni, in particolare quando non si dispone di sufficienti informazioni sul quadrante di appartenenza dell'angolo . Difatti nelle seguenti relazioni non compaiono termini entro valori assoluti per i quali è necessario disporre di tale informazione.
Partiamo dalla formula di duplicazione del seno
e scriviamo il denominatore del secondo membro (che vale evidentemente 1) come .
Dividiamo ora il numeratore e il denominatore per supponendo quindi che
Ricordando che il secondo membro si riscrive
Infine per riportare l'identità appena trovata alla forma canonica eseguiamo la sostituzione
Procedendo allo stesso modo possiamo giungere all'identità collegata al coseno: difatti, riscritta
come
dividiamo ancora il numeratore e il denominatore per supponendo quindi che
Per la proprietà distributiva e la definizione della tangente, questa diviene
L'applicazione della sostituzione implica
La terza ed ultima formula di bisezione si ottiene immediatamente con la sostituzione a partire da quella di duplicazione per la tangente
Difatti si ha
In conclusione, le formule di bisezione ottenute sono
con
con
tan(α)= con
Formule di Werner e prostaferesi
Identità dimostrate
Formule di Werner
Riportate di seguito le formule di addizione e sottrazione per il seno e coseno, deduciamo da queste delle ulteriori identità con le quali potremo collegare prodotti di funzioni goniometriche con somme.
(1) senAdd | sen[α + β] == cos[β] sen[α] + cos[α] sen[β] |
(2) senDiff | sen[α - β] == cos[β] sen[α] - cos[α] sen[β] |
(3) cosAdd | cos[α + β] == cos[α] cos[β] - sen[α] sen[β] |
(4) cosDiff | cos[α - β] == cos[α] cos[β] + sen[α] sen[β] |
Sommando quindi in colonna le prime due, otteniamo
che evidentemente associa il prodotto del seno e coseno con una somma. Dividendo per 2 e scrivendo il secondo membro come primo abbiamo
espressione che costituisce la prima formula di Werner. Se, al contrario, eseguiamo la differenza delle prime due identità e procediamo allo stesso modo otteniamo
che sostanzialmente mostra il medesimo risultato a parte lo scambio dell'angolo con
. Eseguendo invece la somma della terza e quarta identità
giungiamo, dopo aver scambiato i membri e diviso per
alla seconda formula di Werner: questa collega il prodotto di due coseni con una somma. Infine sottraendo la quarta dalla terza
e semplificata dividendola per e quindi scambiati i membri, ricaviamo la terza formula di Werner che riporta un prodotto di seni in una somma.
Formule di prostaferesi
Infine, le quattro formule di prostaferesi si deducono dalle espressioni intermedie servite per giungere alle relazioni di Werner. A tal fine si sostituiscono, in luogo degli angoli e
, le nuove variabili
Esplicitati e
in termini di
e
e, dopo aver sommato la formula di addizione per il seno con quella della sottrazione,
è sufficiente sostituire le nuove variabili
e semplificare
È questa la prima formula di prostaferesi che, come appare evidente, riduce una somma di seni ad un prodotto. Le altre si ottengono in maniera analoga: per ottenere la seconda identità di prostaferesi, riferendoci sempre alle identità di inizio sezione va sottratta la seconda dalla prima
per cui, scambiati i membri
e sostituite le nuove variabili angolari si ottiene
Per la terza di prostaferesi, si parte invece dalla somma della terza identità iniziale con la quarta
e con il medesimo processo si trova
Per ultimo, sottraendo la quarta dalla terza
e, inserite le varibili e
la moltiplicazione per conduce al risultato cercato
In conclusione le 3 formule distinte di Werner sono
e collegano dei prodotti di funzioni con delle somme, mentre le quattro di prostaferesi
associano a somme delle medesime funzioni, dei prodotti.
Riassunto di tutte le identità dimostrate
Identità dimostrate
Tabelle
Presentiamo infine due tabelle riassuntive di tutte le identità dimostrate in questo notebook con associati i rispettivi nomi simbolici usati.
Identità goniometriche dello stesso angolo
idFondamentale | ![]() |
cosNotosen | ![]() |
tanNotosen | ![]() |
senNotocos | ![]() |
tanNotocos | ![]() |
senNototan | ![]() |
cosNototan | ![]() |
Identità goniometriche di angoli diversi
senCompl | ![]() |
cosCompl | ![]() |
tanCompl | ![]() |
senDiffPi2 | ![]() |
cosDiffPi2 | ![]() |
tanDiffPi2 | ![]() |
senSuppl | sen(π - α) == sen(α) |
cosSuppl | cos(π - α) == -cos(α) |
tanSuppl | tan(π - α) == -tan(α) |
senExpl | sen(α + π) == -sen(α) |
cosExpl | cos(α + π) == -cos(α) |
tanExpl | tan(α + π) == tan(α) |
senOpp | sen(-α) == -sen(α) |
cosOpp | cos(-α) == cos(α) |
tanOpp | tan(-α) == -tan(α) |
cosDiff | cos(α - β) == cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) |
cosAdd | cos(α + β) == cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β) |
senDiff | sen(α - β) == cos(β) sen(α) - cos(α) sen(β) |
senAdd | sen(α + β) == cos(β) sen(α) + cos(α) sen(β) |
tanAdd | ![]() |
tanDiff | ![]() |
senDupl | sen(2 α) == 2 cos(α) sen(α) |
cosDupl | ![]() |
cosDuplSen | ![]() |
cosDuplCos | ![]() |
tanDupl | ![]() |
senBis | ![]() |
cosBis | ![]() |
tanBis | ![]() |
senRaz | ![]() |
cosRaz | ![]() |
tanRaz | ![]() |
wernerCosSen | ![]() |
wernerCosCos | ![]() |
wernerSenSen | ![]() |
proSenAddSen | ![]() |
proSenDiffSen | ![]() |
proCosAddCos | ![]() |
proCosDiffCos | ![]() |
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