3. MATEMATICA

Science, 1 Jan 93, Vol. 259, pg. 26 - Barry Cipra - Le proprietà degli spazi multidimensionali sono difficili da intuire. Un problema è quello di riempire uno spazio di n dimensioni con cubi n-dimensionali uguali senza lasciare gaps: ciò è intuitivo fino a n=3. Per n=4, 5, 6, e 10 la congettura (detta di Keller) è stata provata. Non si sa se sia vera per n=7, 8 e 9 l’analisi richiederebbe lo studio di un numero di combinazioni troppo elevato.

Un’altra congettura (detta di Borsuk) è in quante parti si deve dividere una figura in uno spazio a n dimensioni perché ciascuna parte abbia un “diametro” più piccolo dell’originale. La congettura vuole che questo numero sia n+1 e per ogni tipo di figura. La congettura è vera per sfere, cubi e tetraedri, ma è falsa in generale.

Science, 5 Mar 93, Vol. 259, pg. 1404 - Barry Cipra - In matematica è molto difficile distinguere fra un problema facile ed uno difficile. Un esempio è dato dagli sviluppi del quadrato latino: disposizione di n oggetti in un quadrato di n per n in modo che ciascun oggetto compaia una sola volta in ciascuna riga ed in ciascuna colonna. La soluzione è possibile per quadrati di qualsiasi dimensione ed il problema è stato trattato dal matematico Eulero nel 18mo secolo. Nel 1977 Jeff Dinitz dell’università del Vermont generalizzò il problema con più oggetti diversi in ciascuna posizione, ma con la condizione che nessun oggetto potesse apparire più di una volta in ogni riga o colonna. Per molto tempo non si è potuta trovare la soluzioni per quadrati con lato maggiore di 3. Recentemente, nel 1991, Alon e Tarsi dell’università di Tel Aviv hanno trovato la soluzione per n=4 ed n=6 dimostrando prima complessi teoremi. Ultimamente Jeannette Janssen dell’università di Lehigh ha dimostrato che si può sempre trovare una soluzione per un quadrato n per n se si hanno n+1 oggetti da scegliere per ogni posizione. Non si sa quanto si sia ancora lontani dalla completa soluzione del problema di Dinitz.

Science, 23 Apr 93, Vol. 260, pg. 484 - Barry Cipra - Le nuove metodologie di calcolo mediante i computer stanno influenzando anche i modi di insegnamento della matematica nelle scuole, anche in quelle inferiori. Un esempio semplice è quello di mostrare come una macchina può ordinare una serie di numeri disposti in modo casuale paragonando a coppie i numeri ed invertendoli di posizione se il loro ordine non è corretto. Il risultato è ordinato indipendentemente da come si procede nella comparazione. Esistono però anche problemi apparentemente semplici, ma che pongono seri problemi ai matematici. Un esempio è quello del gioco dei quadrati. Si parte ponendo ai quattro vertici di un quadrato quattro numeri positivi, quindi si calcolano le differenze (in assoluto) e si scrivono nei punti di mezzo. Tracciando poi un altro quadrato con i vertici nei punti di mezzo si prosegue la procedura. Sia arriva sempre ad un quadrato con tutti zero ai punti di mezzo. La cosa non è facile da spiegare.

Science, 23 Apr 93, Vol. 260, pg. 495 - Random Samples - Osservando il comportamento delle formiche, si nota che comunque irregolare sia il percorso della prima, la successiva che punta direttamente alla prima tende a regolarizzare il percorso e quindi in una fila di formiche invariabilmente si converge verso la linea retta. Questa osservazione è utile in robotica dove si deve cercare un percorso ed evitare gli ostacoli.

Science, 4 Jun 93, Vol. 260, pg. 1424 - Barry Cipra - Il problema dei due scalatori richiede che questi partano dalle due estremità di una catena di montagne seguendo il profilo e si coordinino in modo da stare ad ogni istante alla stessa quota anche se ciò comporti che uno dei due torni indietro quando l’altro è costretto a scendere. Alla fine i due dovrebbero incontrarsi contemporaneamente sul picco più alto. La cosa funziona a patto che uno dei due non trovi un tratto pianeggiante mentre l’altro si trovi in un tratto con infinite piccole oscillazioni: il primo sarebbe costretto a muoversi a velocità infinita avanti e indietro sul tratto piano.

Science, 2 Jul 93, Vol. 261, pg, 32 - Barry Cipra - La scorsa settimana nella sala conferenze dell’Istituto Isaac Newton di Cambridge Andrew Wiles, un giovane matematico dell’Università di Princeton, ha comunicato di aver trovato la soluzione del famoso ultimo teorema di Fermat. Nel 1637 il matematico francese Pierre Fermat dichiarò che l’equazione x^n+y^n=z^n non ha soluzioni intere per n maggiore di 2, ma non diede la dimostrazione generale provandolo solo per n=4. Cento anni più tardi il matematico svizzero Leonhard Euler lo provò per n=3 e nel 1840 Ernst Eduard Kummer lo provò per un gran numero di esponenti, ma la prova generale rimase elusiva. Wiles è partito da un teorema provato da Ribet nel 1986 che stabilisce un collegamento fra l’ultimo teorema di Fermat e la congettura di Taniyama-Weil sulle curve ellittiche. Se questa congettura viene provata vera per una classe infinita di curve ellittiche viene dimostrato il teorema di Fermat. Questa prova è stata fornita da Wiles in un rapporto di 200 pagine.

Science, 24 Dec 93, Vol. 262, pg. 1967 - Barry Cipra - Dopo l’annunzio dato nel luglio 1993 della soluzione dell’ultimo teorema di Fermat da parte del matematico Andrew Wiles, il 4 dicembre questi ha riconosciuto che ci sono ancora alcuni problemi non ancora risolti nella sua dimostrazione che occupa circa 200 pagine, ma che confida di superare.

Science, 7 Jan 94, Vol. 263, pg. 27 - Random Samples - Con un calcolo di forza bruta è stato trovato l’ultimo numero primo di Mersenne (monaco e matematico del XVII sec.) cioè della speciale forma 2^q-1 dove q è anche primo. Il numero trovato è 2^859433 - 1, lungo 258716 cifre.

Science, 6 May 94, Vol. 264, pg. 776 - Gary Taubes - La scorsa settimana è stato annunziato che dopo 8 mesi di lavoro, usando 600 volontari attraverso Internet, si è riusciti a scindere un numero di 129 cifre, noto in crittografia come RSA-129, in due fattori primi. La sfida era stata lanciata 17 anni fa da Scientific American ed era basata su una proposta di crittografia con due chiavi: una chiave pubblica per chi vuole codificare un messaggio da trasmettere, ed una chiave privata che permette solo al destinatario di decifrarlo; viceversa la chiave privata può generare messaggi codificati che i possessori della chiave pubblica possono leggere, ma non possono imitare e quindi contraffare. Il sistema basa la sua sicurezza sull’enorme difficoltà a trovare i due fattori primi del numero prodotto. I due primi ottenuti come fattori dello RSA-129 sono rispettivamente di 65 e 64 cifre. Un numero da 200 cifre sarebbe 7000 volte più difficile da scindere ed un numero da 400 cifre diventerebbe 300 miliardi di volte più difficile.

Science, 1 Jul 94, Vol. 265, pg. 29 - Barry Cipra - Il problema del quadrato latino è quello di disporre in una griglia n x n oggetti o colori in modo che lo stesso oggetto o colore non venga usato due volte nella stessa riga o colonna. Nel 1977, Dinitz, ora all’Università del Vermont, propose una variante detta quadrato Latino parziale in cui si dispone di un numero di colori maggiore di n e ad ogni cella è assegnato un set di colori disponendoli senza scegliere al più un colore due volte nella stessa riga e colonna. Il problema può essere visto anche nell’ambito della teoria dei grafi cioè colorare le linee che connettono coppie di vertici di un grafo in modo che non ci siano mai due linee dello stesso colore che raggiungono uno stesso vertice. Questo problema ha applicazioni nelle reti di comunicazione se il colore rappresenta una conversazione fra due utenti (i vertici) e la limitazione significa che non si possono tenere due conversazioni nello stesso tempo.

Science, 22 Jul 94, Vol. 265, pg. 473 - Barry Cipra - Quando i matematici affrontano un nuovo problema cercano di trovare in esso impronte di altri problemi. Ciò accade anche nello studio di sequenze di numeri. Per questi anzi è stata creata un’enciclopedia delle sequenze sviluppata nei Bell Labs. Quando una nuova sequenza corrisponde ad una del data base c’è una buona probabilità che il problema sia vecchio, altrimenti il problema potrebbe essere nuovo. Ad esempio contando il numero diverso di modi in cui si possono disporre n cubi si ha sequenza delle potenze di 2. Un altro esempio è la sequenza 1, 2, 5, 14, 42, ..., questa corrisponde al modo con cui si possono disporre blocchi di n colonne in modo che la posizione più a sinistra sia sempre vuota e che nessuna colonna sia più alta di un’unità della colonna alla sua sinistra, ma la stessa sequenza si può avere contando il numero di modi in cui si possono disporre parentesi intorno ai simboli di un prodotto algebrico di n termini oppure ancora contando il numero di modi diversi in cui si può dividere in triangoli un poligono di n lati ed altri problemi di conteggio.

Science, 4 Nov 94, Vol. 266, pg. 725 - Barry A. Cipra - Andrew Wiles, dopo aver annunziato il 23 giugno 1993 in una conferenza all’università di Cambridge la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat basata sulla congettura di Tanyiama-Shimura, ha inviato la scorsa settimana a 20 matematici due manoscritti con cui descrive la dimostrazione corretta rispondendo alle obiezioni avute. Si pensa che l’analisi dei documenti richiederà alcune settimane ed un’accettazione ufficiale alcuni mesi.

Science, 13 Jan 95, Vol. 267, pg. 175 - Barry Cipra - Una ricerca sui numeri primi ha messo in evidenza un difetto nella logica di calcolo del chip Pentium della Intel. La scoperta è stata fatta da Thomas Nicely del Lynchburg College in Virginia mentre cercava di calcolare il numero detto della Somma di Brun che è in relazione con la distribuzione dei numeri primi. Si sa che, pur essendo infiniti, i numeri primi tendono a diventare sempre più rari fra i grandi numeri, per esempio mentre fra i numeri a due cifre il 23% sono primi, per quelli a 10 cifre solo il 4% sono primi e meno dello 0,5% lo sono quelli fra i numeri a 100 cifre, quindi l’intervallo fra due numeri primi consecutivi tende ad aumentare. Esistono tuttavia coppie di numeri dispari consecutivi che sono primi come 3 e 5, 41 e 43, 101 e 103, 10007 e 10009 ecc. che vengono chiamati primi gemelli e questi tendono a diventare sempre più frequenti. Nel 1919 il matematico norvegese Viggo Brun dimostrò che la somma degli inversi dei primi gemelli converge ad un valore finito: la Somma di Brun. Nel 1976 il calcolo di questa somma per tutti i primi gemelli fino a 100 miliardi ha dato 1,90216054. Il calcolo può essere fatto o usando un’unità floating point con 19 cifre decimali o con un’aritmetica ad alta precisione capace di un’accuratezza di 26 (e poi anche di 53) cifre. Il paragone fra questi due metodi ha messo in evidenza un errore nel chip Pentium perché la differenza fra i due metodi era più grande di quanto ci si poteva aspettare. Approfondendo l’indagine si vide che il Pentium dava un valore incorretto del reciproco in floating point per i due primi 824633702441e 824633702443 sbagliando dalla decima cifra in poi. L’errore sparì eseguendo il calcolo con un normale calcolatore 486. La Intel è stata avvertita.

Science, 20 Jan 95, Vol. 267, pg. 332 - James Glanz - La notizia che il chip Pentium della Intel produce risultati imprecisi nella divisione di particolari grandi numeri ha focalizzato l’attenzione sul debugging di sistemi complessi. Un chip come il Pentium contiene milioni di transistori combinati in una rete di latches e gates. Con n latches il numero di stati possibili diviene 2n e le simulazioni hanno una velocità milioni di volte più bassa di quella a cui funziona lo stesso chip. La Intel ha già introdotto verifiche più complesse nel successore del Pentium: il chip P6.

Science, 28 Apr 95, Vol. 268, pg. 542 -Richard J. Lipton - Metodi biologici possono essere usati per risolvere complessi problemi matematici. Un esempio è il problema del percorso di Hamilton: dato un gruppo di città, collegate fra di loro in modo diretto, trovare un percorso che parte da una data città, finisca in un’altra data città, e le visiti tutte una sola volta. Questo è conosciuto come il problema NP-completo. Problemi come questo richiedono un enorme numero di operazioni e l’uso di computer biologici può sembrare promettente per l’enorme grado di parallelismo che possono realizzare anche se con una velocità molto bassa. Tuttavia anche con 10E23 processori in parallelo un computer biologico non potrebbe risolvere questo problema con più di 70 città. Tuttavia esiste un metodo, detto di Aldeman, che permette ai sistemi biologici di cambiare radicalmente il modo di affrontare i calcoli. Un esempio lo può offrire un altro famoso problema detto di “satisfaction” (SAT). Si consideri la formula:

F = (x OR y) AND ((NOTx) OR (NOTy))

si tratta di trovare le copie di valori Booleani che la soddisfano (F = 1) ed in questo caso sono solo (1, 0) e (0, 1). Il problema più generale è costituito da una serie di m clausole C1, ... , Cm ciascuna delle quale consiste nella funzione logica:

A1 OR ... OR Ar, e tutte la clausole vengono combinate secondo:

C1 AND ... AND Cm

Aldeman ha proposto un esperimento che usa catene di DNA per risolvere il problema, ma un computer basato su questo principio potrebbe non essere perfetto per gli errori inevitabili nei processi biologici.

Science, 26 May 95, Vol. 268, pg. 1133 - Barry Cipra - È stato dato ufficialmente l’annunzio dell’avvenuta dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat formulato nel 1630. Dopo circa 2 anni dalla prima comunicazione data dal matematico Andrew Wiles dell’università di Princeton e dopo 7 mesi dalla consegna dell’ultimo manoscritto rivisto e corretto, la soluzione del famoso problema vecchio di 350 anni apparirà nel fascicolo di maggio degli Annals of Mathematics. La prova consiste di due articoli: il primo è sostanzialmente quello presentato da Wiles nel 1993, il secondo scritto insieme a Richard Taylor della Cambridge University corregge un punto aperto scoperto nell’ultima parte della dimostrazione di Wiles. Alla base della dimostrazione è stato il legame trovato da Ken Ribet dell’università di Berkeley nel 1986 fra l’ultimo teorema di Fermat e la congettura di Taniyama-Shimura delle curve ellittiche nella teoria dei numeri formulata nel 1960 e da allora rimasta senza risposta. Wiles ha impegnato 7 anni nella ricerca della soluzione a cui è legata solo una parte della congettura di Taniyama-Shimura che forse potrà ora essere dimostrata completamente nei prossimi anni.

Science, 30 Jun 95, Vol. 268, pg. 1848 -Antonio Regalado - La teoria del caos si applica a qualunque cosa dalle orbite dei pianeti al gocciolamento irregolare di un rubinetto. Si sta scoprendo ora che il caos è qualcosa di utile. Nei sistemi biologici, come l’attività elettrica del cervello e del cuore il caos può essere la norma. Certi fatti patologici come ritmi anormali del cuore ed attacchi epilettici possono derivare da un eccesso di regolarità. La base del caos sta proprio nella caratteristica che lo rende imprevedibile cioè nella sensibilità alle piccole perturbazioni, quello che viene chiamato “effetto farfalla”. Quando un sistema si avvicina in una regione del suo spazio delle fasi dove scivola in un comportamento periodico una perturbazione può riportarlo fuori. I ricercatori sono attratti dal potenziale terapeutico di perturbazioni caotiche applicati in punti specifici.

Science, 22 Mar 96, Vol. 271, pg. 1668 - Barry Cipra - In una serie di conferenze tenute all’inizio dell’anno ad Orlando in Florida fra l’American Mathematical Society e la Mathematical Association of America, Andrew Wiles, il matematico di Princeton che ha dato la prova dell’ultimo teorema di Fermat ha indicato una serie di problemi significativi che rimangono ancora senza risposta. Si tratta di problemi apparentemente semplici sulle proprietà delle equazioni algebriche ed in molti di questi compaiono le curve ellittiche cioè le soluzioni di equazioni in due variabili del tipo y^2 =x^3 + Ax + B con coefficienti interi A e B. Anche sapere se un’equazione ha un numero finito o infinito di soluzioni razionali risulta estremamente difficile. Un esempio di problema dove compaiono le funzioni ellittiche è di sapere se un certo numero intero rappresenta l’area di un triangolo rettangolo i cui lati sono numeri razionali: 6 è l’area del triangolo di lati 3, 4, 5; 5 è l’area del triangolo di lati 3/2, 20/3, 41/6. Meno ovvio è affermare che 1, 2, 3 e 4 non sono aree di triangoli rettangoli aventi lati razionali. I teorici hanno trovato che un triangolo di lati razionali ed area N corrisponde alla soluzione razionale della curva ellittica y^2 = x^3 - N^2 x dove, essendo a, b, c i lati e l’ipotenusa del triangolo rettangolo, x = (c/2)^2 e y = (a^2 - b^2)c/8 è un punto della curva ellittica, soluzione dell’equazione. Tuttavia i teorici non hanno ancora trovato un metodo per decidere se l’equazione ha o no soluzioni razionali. Si sa solo, dalle proprietà delle equazioni ellittiche, che per y = 0 o non ci sono soluzioni razionali o ce ne sono infinite; inoltre se la curva ha infinite soluzioni razionali, esiste una curva associata, L-function, che prende il valore 0 in un certo punto, ma non vale il contrario.

Science, 2 Aug 96, Vol. 273, pg. 579 - Andrew Watson - Una semplice pila conica di sabbia costituisce un problema apparentemente insolubile se ci si domanda in quale punto della base si esercita la massima pressione. Il senso comune suggerisce che questo punto sia sotto il vertice invece il massimo si trova lungo una circonferenza concentrica con questo punto; sotto il vertice la pressione ha un minimo relativo. In realtà il problema della piramide di sabbia è indeterminato come quello del tavolo con 4 piedi perfettamente rigido perché il numero di incognite (le forze sulle 4 gambe) è maggiore di quello delle equazioni e per risolverlo è necessario introdurre le proprietà elastiche del materiale. Il minimo di pressione sotto il vertice si spiega ammettendo che le principali linee di sforzo sono parallele ed inclinate all’interno della piramide (modello del fixed principal axis o FPA), ma in generale il modo di propagarsi degli sforzi dipende da come è stata costruita la piramide.

Science, 23 Aug 96, Vol. 273, pg. 1047 - Barry Cipra - Gli esperti di sicurezza dei computer hanno sviluppato potenti tecniche per crittografare i dati, ma non c’è mai un’assoluta garanzia. I dati segreti e le transazioni finanziarie complesse richiedono invece una sicurezza sempre maggiore. Molte chiavi sono basati su numeri prodotto di due numeri primi presi a caso che sono molto difficili da scomporre. Ora un matematico della IBM di San José, California, ha dimostrato che esistono particolari classi di problemi estremamente difficili da risolvere a priori. Uno di questi si basa su un reticolato di punti nello spazio a n dimensioni, se il reticolato è realizzato in modo casuale il trovare la coppia di punti a distanza più breve rappresenta un problema intrattabile dal punto di vista computazionale. L’applicazione più immediata è la “firma digitale”: allegando uno di questi problemi ad un documento, questo viene autentificato dandone la soluzione; un esempio è il protocollo di autenticazione per cui un documento viene accettato dai terminali che conoscono la soluzione. Tuttavia questa classe di problemi non è stata ancora applicata per criptare un documento.

Science, 20 Dec 96, Vol. 274, pg. 2014 - Barry Cipra - Una collaborazione fra matematici, esperti nella teoria dei numeri, e fisici quantistici sta scoprendo una imprevista correlazione fra questi due campi. Da un lato c’è la nota funzione zeta di Riemann che rappresenta come i numeri primi sono distribuiti fra gli interi, dall’altro il comportamento di un sistema atomico complesso. Riemann nel 1859 dimostrò come la distribuzione dei numeri primi dipende dalle proprietà della funzione zeta trovata da Eulero. La funzione zeta(s) è la somma infinita delle potenze s dei reciproci di numeri interi 1/n^s ed Eulero aveva trovato che la stessa formula si può esprimere come l’inverso di un prodotto infinito i cui termini sono (1-p^-s) dove p sono la serie dei numeri primi. Un altro modo di esprimere la stessa formula fu trovato da Hadamard, sempre come prodotto infinito in cui compaiono gli zeri della funzione zeta. Ora i fisici quantistici trovarono che gli zeri della funzione zeta rappresentano i livelli di energia di un atomo mentre il logaritmo dei numeri primi rappresenta la lunghezza delle orbite. Gli zeri dalla funzione zeta, che sono numeri complessi, sono stati calcolati recentemente in gran numero mediante i calcolatori. La regolarità di un sistema quantistico viene messa così in relazione con una distribuzione casuale come quella dei numeri primi e si pensa già a collegare questo alla rappresentazione caotica del mondo macroscopico della fisica classica.

Science, 25 Apr 97, Vol. 276, pg. 532 - Charles Seife - Una sequenza impredicibile di cifre può essere ottenuta da numeri trascendenti come p-greco, e (base dei logaritmi naturali) o irrazionali come radice di 2, ecc., ma in realtà queste sequenze non hanno tutte lo stesso grado di aleatorietà, caratteristica che però non è facile da definire. Si è creato un metodo per misurare l’entropia o disordine di una sequenza prendendo le cifre a coppie e verificando che vi sia un uguale numero di tutte le loro possibili combinazioni e lo stesso deve capitare per i gruppi con maggior numero di cifre. Applicando questo criterio, detto di “approximate entropy” (ApEn) si è trovato che il più irregolare è p-greco, ma seguono nell’ordine radice di 2, e, radice di 3, e non è vero quindi che i numeri trascendenti siano più irregolari di quelli irrazionali. Il criterio di ApEn permette inoltre di distinguere un messaggio codificato dal puro rumore analizzando una sequenza abbastanza lunga.

Science, 21 Nov 97, Vol. 278, pg. 1396 - Dana Mackenzie - Dopo la soluzione dell’ultimo teorema di Fermat ad opera di Andrew Wiles della Princeton University nel 1994 un banchiere di Dallas ha offerto un premio per la soluzione del problema più generale in cui gli esponenti sono relativamente primi fra di loro e maggiori o uguali a 3. Infatti le soluzioni intere di a, b, c della relazione a^x + b^y = c^z sono infinite quando due esponenti sono uguali come 17^4 + 34^4 = 17^5, ma molto più rari sono gli esempi in cui gli esponenti sono relativamente primi ed al momento se ne conoscono solo 10, in tutti uno degli esponenti è 2 e 1/x + 1/y + 1/z < 1. Le 10 soluzioni trovate sono:

Science, 2 Jan 98, Vol. 279, pg. 31 - Barry Cipra - I matematici sanno fin dal tempo di Euclide che i numeri primi sono infiniti e negli ultimi 100 anni si è appreso come determinare approssimativamente quanti numeri primi ci sono fino ad un determinato numero, ma rimane misterioso quale sia la loro distribuzione anche in sequenze infinite, ma sparse di numeri come quelli dell’espressione n^2 + 1. Un crivello asintotico parte dal principio che di una certa sequenza di numeri rimane la metà quando vengono tolti i numeri pari, dei restanti rimangono i 2/3 se si tolgono i multipli di 3, poi i 4/5 togliendo i multipli di 5 e così via, il risultato è molto vicino al numero vero di primi che si trovano nella sequenza, ma non è un risultato esatto. La sequenza n^2 +1 contiene certo un numero infinito di primi, ma non si sa determinare quanti ve ne sono al di sotto di un certo intero. Alcuni credono che fra due quadrati successivi ci sia almeno un primo, ma non si sa come provarlo.

Science, 6 Feb 98, Vol. 279, pg. 804 - Barry Cipra - Uno dei problemi che si presentano negli origami è di predire se un modello può essere piegato piatto fra le pagine di un libro senza creare ulteriori piegature o rovinarlo. I matematici hanno trovato che questo problema fa parte di una classe detta “NP completa” dove NP sta per Polinomiale Non deterministico e si tratta di problemi estremamente complessi in cui ciascuno contiene la chiave per risolvere gli altri. Alcuni esperti di scienza dei computer hanno trovato che questo problema è equivalente a quello che nel campo dei computer viene denominato “not all true 3-SAT” che vuole determinare se data un’espressione logica, ottenuta combinando tre termini, essa può essere soddisfatta dando ai termini valori non tutti veri. Nel caso degli origami le piegature corrispondono a un valore vero se avvengono in un senso e falso se avvengono nel senso opposto. In natura si incontra il problema della piegatura in molti casi, da quella delle ali degli insetti alle deformazioni delle lamiere.

Science, 13 Mar 98, Vol. 279, pg. 1637 - Dana Mackenzie - I matematici hanno dimostrato circa 20 anni fa che è possibile realizzare figure tridimensionali formate da triangoli rigidi che possono essere compresse ed allungate in forme diverse senza distorcere le facce, ma ci sono delle condizioni: i poliedri flessibili devono mantenere il loro volume costante. Nel 1813 il matematico francese Augusto Louis Cauchy aveva provato che un poliedro convesso con facce piane, spigoli diritti e, condizione più importante, senza rientranze era sempre rigido. Questo aveva lasciata aperta la possibilità che un poliedro con rientranze potesse flettersi. Nel 1970 Robert Connelly della Cornell University trovò che era possibile e più tardi Klaus Steffen dell’università di Düsseldorf scoprì un poliedro flessibile di 9 vertici e 14 facce triangolari che si crede sia il più semplice possibile (i dati per la costruzione del poliedro si trovano nell’articolo originale). Da questo momento i matematici hanno iniziato ad indagare. Un solido siffatto deformandosi comprimerà una parte del suo volume mentre ne espanderà un’altra e non potrà comportarsi come un soffietto. Richiamando inoltre la formula scoperta del matematico greco Herone di Alessandria sull’area A di un triangolo in funzione dei suoi lati:

16*A^2 = 2*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + 2*b^2*c^2 - a^4 - b^4 - c^4

si deve supporre che anche il volume di un tetraedro debba soddisfare ad una formula simile, ma più complicata per cui se il poliedro cambia forma gradualmente deve mantenere costante il volume.

Science, 28 Aug 98, Vol. 281, pg. 1267 - Barry Cipra - Keplero è ricordato anche dai matematici per un problema di geometria in cui assumeva, senza provarlo, che il più denso agglomerato di sfere della stessa dimensione era quello della piramide a sfere centrate come i mucchi di arance dal fruttivendolo. Recentemente Thomas Hales, un matematico dell’università del Michigan ne ha dato una rigorosa prova con una lunga analisi. Hales si chiese come un numero finito di sfere possano assemblarsi e trovò un modo per assegnare a ciascuna sfera lo spazio vuoto rimanente; definì così per ogni sfera una “cella di Voronoi” definita come l’insieme dei punti più vicini a quella sfera che alle altre. Se ogni sfera occupa non più del 74% della sua cella di Voronoi viene dimostrata la congettura di Keplero, ma ci sono dei casi in cui l’occupazione è diversa da sfera a sfera, maggiore e minore del 74%. La prova passava quindi per l’analisi di tutti i casi, numerosi, ma finiti. Un caso particolarmente problematico fu quello dell’assiemaggio a prisma pentaedro costituito da 12 sfere intorno ad una 13ma centrata, caso che fu oggetto di una tesi di dottorato.

Science, 27 Nov 98, Vol. 282, pg. 1631 - Dana Mackenzie - Mentre è facile calcolare le probabilità di vincere nei vari giochi con i dadi, non si sa come calcolare quella per vincere un solitario. Tuttavia recentemente il problema è stato risolto per un semplice solitario. Il metodo si basa su una dimostrazione di due matematici dell’università di New York ed uno di Stoccolma circa la similitudine fra la forma di un semplice solitario e le matrici casuali sviluppate in origine per comprendere il comportamento quantistico di grandi atomi. Lo stesso tipo di matrice ha anche attinenza con l’ipotesi di Riemann che descrive come sono distribuiti i numeri primi fra gli interi. Nel solitario in questione il giocatore apre una carta per volta e la può porre sopra una di rango più alto già esposta, se non ci sono carte più alte crea una nuova pila. L’obiettivo del giocatore è di creare meno pile possibili. Il numero di pile segue una distribuzione di probabilità che, invece di essere una gaussiana come nel lancio dei dadi, è una curva oscillante come quella dei valori caratteristici delle matrici casuali; in termini fisici è come la probabilità che ha un fotone di lunghezza d’onda i di uscire da un atomo che ha assorbito un fotone di lunghezza d’onda j. I valori di i dipendono da quanti sono gli stati eccitati dell’atomo. La stessa curva probabilistica sembra valere anche per la distribuzione dei numeri primi la cui densità decresce gradualmente con molte piccole fluttuazioni al crescere dei numeri.

Science, 9 Jul 99, Vol. 285, pg. 178 - Dana Mackenzie - Dopo la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat da parte di Andrew Wiles dell’università di Princeton, circa 5 anni fa, questo mese è stata annunziata la soluzione della famosa congettura di Taniyama-Shimura già parzialmente provata da Wiles. La congettura stabilisce che tutte le curve ellittiche sono modulari. Una curva ellittica è un insieme di soluzioni di un polinomio cubico della forma: y^2 = x^3 + Ax^2 + Bx + C ed una curva ellittica è modulare se tutte le sue soluzioni razionali possono essere trovate con l’aiuto di una funzione modulare. Se si conosce una di queste soluzioni razionali sulla curva se ne può trovare un’altra tracciando da questo punto una tangente alla curva e così via, ma a volte non si conosce un primo punto oppure la procedura non trova tutte le soluzioni. Ora un team di matematici guidato da Brian Conrad dell’università di Harvard ha dimostrato che la funzione modulare esiste in tutti i casi ed è in corso una verifica della dimostrazione.

Science, 27 Aug 99, Vol. 285, pg. 1338 - Dana Mackenzie - Sul perché le api costruiscono i loro favi con celle esagonali già nel primo secolo a.C. lo scrittore romano Terenzio Varrone riteneva che fosse per ragioni di economia piuttosto che di simmetria. Fino ad ora gli scienziati hanno assunto che la rete esagonale sia quella che permette di immagazzinare la maggiore quantità di miele in una struttura con celle uguali usando il minimo di cera per dividerle, ma nessuno aveva dimostrato che fosse la soluzione migliore. Lo scorso mese in un workshop di matematica a Budapest Thomas Hales dell’università del Michigan ha presentatola prova che l’honeycomb esagonale ha le pareti con la più piccola lunghezza per unità di area per ogni reticolo che divida il piano in celle di uguali dimensioni. Hales aveva recentemente dimostrato la congettura di Keplero sul modo più denso per assemblare delle sfere uguali, in questo caso ha adottato una strategia simile chiedendosi se un honeycomb ottimale possa avere celle di forma diversa, insieme esagoni e pentagoni, e pareti curve; così trovò che l’aumento del numero dei lati migliora il rendimento della cella singola, ma a svantaggio di quelle vicine e lo stesso accade per le pareti curve. Hales è stato il primo a calcolare le penalità associate alle diverse scelte, numero di lati e curvature, ed a combinarle.

Science, 26 May 2000, Vol. 288, pg. 1328 - Charle Seife - Questa settimana in un congresso a Parigi i matematici hanno elencato i sette problemi più intrattabili che aspettano ancora una soluzione.

Il primo della lista è il problema P in funzione di NP dove P e l’algoritmo di tipo polinomiale come quello di disporre in ordine alfabetico una lista di file che richiede un tempo proporzionale al quadrato del numero dei file, NP sta per polinomiale non deterministico come quello di fattorizzare un numero. Tutti gli algoritmi P sono anche NP, ma un problema NP sembra non abbia una soluzione polinomiale, se si trovasse verrebbe superata l’attuale crittografia.

Nel 1904 Henry Poincaré studiò la topologia come classificazione di forme nello spazio ed osservò che queste si potevano distinguere da come si comportava una curva chiusa tracciata su di essi riducendola progressivamente; si poteva ridurre ad un punto come quella tracciata su una sfera oppure ciò non era sempre possibile come una curva chiusa tracciata su una ciambella e ciò creava due classi topologiche distinte. Poincaré congetturò che questo test poteva valere anche per superfici di dimensioni superiori e ciò fu infine provato per tutte tranne che per le superfici a tre dimensioni.

Il terzo problema insoluto è legato alle proprietà geometriche delle curve ellittiche, cioè l’insieme dei punti soluzioni di un’equazione della forma y^2 = x^3 + ax + b. La congettura di Birch-Swinnerton-Dyer formulata nel 1960 stabiliva che le soluzioni razionali sono infinite se e solo se una certa L-funzione associata alla funzione ellittica passava per lo zero.

Un’altra congettura è quella di Hodge che suppone un legame fra algebra astratta e geometria stabilendo che i cicli di Hodge, strutture algebriche che non hanno un’ovvia interpretazione geometrica, si possono esprimere come somma di cicli algebrici relazionati alle intersezioni di curve nello spazio.

Il quinto problema si ispira ad una branca della fisica nota come teoria di Yang-Mills che descrive le particelle usando il linguaggio delle simmetrie matematiche ed ha permesso di unificare le forze debole ed elettromagnetica. Non si sa però se le equazioni di Yang-Mills hanno delle soluzioni e se queste spiegano perché i quark non possono essere isolati.

Il sesto problema riguarda l’insieme di equazioni differenziali tridimensionali di Navier-Stokes che descrive il moto dei fluidi incompressibili. Benché relativamente semplici queste equazioni hanno un comportamento estremamente instabile. Il saper trattare queste equazioni porterebbe un grande contributo alla meccanica dei fluidi, alla scienza ed alla matematica.

L’ultimo problema, il più grande mistero matematico, è un’ipotesi pubblicata nel 1857 dal matematico tedesco Bernhard Riemann sulle proprietà della funzione zeta: z(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Per qualunque numero positivo s la funzione non assume mai il valore zero, ma se s è un numero complesso si hanno infiniti zeri e tutti sembrano avere la parte reale ½ e quindi sono nella forma ½ + bi. Nessuno però è riuscito a provarlo. Se questa ipotesi è vera si avrebbe una risposta alla distribuzione dei numeri primi, inoltre la funzione z è legata strettamente alla L-funzione delle equazioni ellittiche.

Science, 20 Apr 2001, Vol. 292, pg. 419 - Mark K. Anderson - Nessuno ha mai costruito un computer quantistico, ma sorge il problema di come progettare il software per una tale macchina. Il software si può provare su una macchina che esiste. In un computer quantistico l’elemento di memoria è il qubit che deve obbedire alle leggi quantistiche e quindi ha la proprietà della sovrapposizione degli stati il che fa sperare di poter risolvere velocemente problemi insolubili in particolare quelli noti come NP-completi come il famoso problema del viaggiatore che vuole toccare un certo numero di città una sola volta con il minimo percorso. Simulare l’algoritmo di un computer quantistico richiede l’uso di un cluster di workstation che processano in sequenza ciò che il computer quantistico può processare simultaneamente ed i tempi sono molto più lunghi di quelli necessari ad un normale computer con un software tradizionale per lo stesso problema.

Science, 2 Aug 2002, Vol. 297, pg. 784 - Carla P. Gomes and Bart Selman - Fra i problemi statistici la “satisfiability” (SAT) viene definita in termini di più variabili booleane e condizioni logiche che descrivono le relazioni fra queste variabili. Queste possono assumere solo i valori di vero o falso ed il problema SAT viene risolto se si trova per le variabili un set di valori capaci di soddisfare contemporaneamente tutte le condizioni. Ai SAT appartengono molti problemi di pianificazione e scheduling, la ricerca di configurazione delle proteine, la determinazione se un chip per computer soddisfa le sue specifiche. Anche i problemi noti come NP-completi possono essere codificati come SAT. Si crede che non esista un algoritmo efficiente che risolva i problemi NP-completi, ma non ne esiste una dimostrazione formale. Una classe di problemi SAT è quella detta K-SAT dove ogni condizione contiene k variabili. Detto alfa il rapporto fra numero di condizioni e numero di variabili, con alfa piccolo si possono avere una o più soluzioni, quando alfa cresce una soluzione diventa sempre meno probabile ed il livello di soglia (probabilità 50%) è di 4,25, ma non è un valore ricavato in modo rigoroso. Il metodo di soluzione per un problema K-SAT è statistico generando in modo casuale dei set di valori per le variabili e verificando la soluzione. Per N variabili il numero di prove è dell’ordine di 2^N. Per verificare quanto una soluzione sia difficile si può ripetere il metodo provando ad escludere una delle condizioni. Le difficoltà cominciano a crescere avvicinandosi al limite di alfa = 4.

Science, 4 Apr 2003, Vol. 300, pg. 32 - Dana Mackenzie - La scorsa settimana presso l’American Institute of Mathematics (AIM) due matematici, dell’università di San José di California e di Istanbul in Turchia, hanno affermato di aver provato che i numeri primi diventano sempre più raggruppati man mano che diventano più grandi. I numeri primi possono presentarsi in gruppi come 101, 103, 107, 109 e 113 o a grandi intervalli. Una domanda rimasta aperta è la congettura dei primi gemelli che si distanziano di due numeri come 17 e 19 e 101 e 103, si suppone che questi compaiano sempre nella serie dei numeri, ma se la congettura sia vera o falsa rimane un mistero. Si è dimostrato che i numeri primi diventano più sparsi man mano che diventano più grandi ed in media l’intervallo fra due primi è come il logaritmo naturale di n (log n). Nel 1965 Bombieri dell’università di Pisa e Davenport dell’università di Cambridge hanno dimostrato che un intervallo minore di ½ log n compare infinite volte e lo stesso fu dimostrato poi per l’intervallo di 1/4. La nuova prova mostra che intervalli più brevi relativi al valore medio si vanno stringendo al crescere di n.

Science, 18 Apr 2003, Vol. 300, pg. 417 - Dana Mackenzie - Il matematico francese Henry Poincaré si era chiesto se dall’analisi topologica si potesse identificare il più semplice oggetto tridimensionale come la superficie di un uovo a quattro dimensioni, in altre parole se uno spazio 3D senza caratteristiche particolari come buchi, inversioni di Möbius, maniglie o spigoli dovesse essere una sfera. Questa era la congettura di Poincaré fino ad ora mai provata. La scorsa settimana, durante una serie di conferenze presso il Massachusetts Institute of Technology (MIT), Grigori Perelman dell’Istituto Matematico Steklov di S. Pietroburgo, Russia, ha annunziato di avere una possibile prova della congettura anche se non ha ancora dichiarato vittoria. Nel suo lavoro Perelman si riallaccia anche alla congettura del matematico tedesco Bernhard Riemann che riferendosi ad una qualsiasi superficie a due dimensioni (2D) afferma che può essere regolarizzata in modo da avere ovunque la stessa curvatura: negativa, positiva o piana. Più la curvatura e negativa più si formano dei buchi, quindi una superficie priva di buchi è curva positivamente ed è equivalente topologicamente ad una sfera. Passando agli spazi a tre dimensioni (3D), che sono più complicati di quelli 2D, questi non si possono regolarizzare per avere una curvatura costante, ma alla fine degli anni ‘70 il matematico Thurston della Princeton University congetturò che si possono dividere in parti ciascuna delle quali può avere una di 8 geometrie uniformi che vanno dall’iperbolica (curvatura negativa) alla sferica (curvatura positiva); fra queste solo quella sferica non lascia irregolarità topologiche e questo dimostrerebbe la congettura di Poincaré, ma bisognerebbe dimostrare questa possibilità di divisione. La strada seguita da Perelman passa attraverso i “Ricci flow” ed un nuovo concetto di entropia dello spazio che dovrebbe guidare alla geometrizzazione.

Science, 16 May 2003, Vol. 300, pg. 1066 - Danie Bachtold - L’annunzio dato in marzo da due matematici dell’università di San José della California e dell’università di Istanbul in Turchia che i numeri primi possono trovarsi in gruppi vicini sempre più numerosi aveva messo in agitazione gli studiosi del campo in quanto questo rappresentava un passo avanti nel provare la congettura dei primi gemelli che suppone vi siano infinite coppie di primi distanziati solo di due numeri, ma un recente accurato controllo ha trovato un errore in una routine del calcolo e fino ad ora non è stato possibile trovare una soluzione.

Science, 23 Feb 2007, Vol. 315, pg. 1066 - John Bohannon - Le moschee ed i palazzi del mondo islamico sono ricchi di disegni geometrici con mosaici complessi perché la tradizione impedisce la decorazione con immagini. Queste configurazioni geometriche sono chiamate girih in arabo. Ora due fisici dell’università di Harvard e di Princeton hanno avanzato l’ipotesi che, fra il XIII ed il XV secolo, gli architetti musulmani abbiano scoperto con i girih configurazioni che solo 500 anni dopo sono state formalmente descritte nel mondo occidentale come ”quasi cristalline” (quasi-periodiche). Cominciando dal decennio 1960 i matematici hanno studiato la geometria delle piastrelle introducendo il concetto di “quasi cristallino” per una configurazione ripetitiva di un insieme finito unità che però non si ripete anche se esteso all’infinito in tutte le direzioni. Si sa che piastrelle di pentagoni e decagoni non possono coprire una superficie, ma lo possono combinandosi con altre piastrelle di forma diversa. Una configurazione quasi-cristallina è quella detta di Penrose dal nome del matematico e cosmologo dell’università di Oxford Roger Penrose. Nel 2005 Peter Lu, uno studente al dottorato di Harvard, notò sul muro di una scuola islamica dell’Uzbekistan un complesso motivo con decagoni e cominciò a studiare l’architettura di quel periodo scoprendo che questi complessi poligonali potevano creare configurazioni che si estendevano all’infinito senza ripetersi come un insieme quasi-cristallino. Analizzando migliaia di foto di moschee con girih, molto comuni nel 1200, la maggior parte erano periodiche, ma trovò infine la foto del santuario di Darb-i Iman a Isfahan, in Iran, costruita nel 1453 che mostrava segni di essere quasi-cristallina e, insieme a Paul Steinhardt di Princeton, si concordò che poteva rientrare in una configurazione di Penrose. Naturalmente rimane il dubbio che gli architetti del tempo si fossero realmente resi conto del nuovo concetto matematico.

Science, 23 Mar 2007, Vol. 315, pg. 1647 - Dana Mackenzie - Per più di un secolo i matematici si sono affannati per comprendere un’entità a 248 dimensioni nota come E8 che è stata descritta come magica e miracolosa, ma non si sapeva come rappresentarla. Questa settimana un team di matematici ed esperti del computer che formavano il Progetto Atlas, guidati da Jeffrey Adams dell’università del Maryland, hanno annunziato che un supercomputer, detto Sage, ha mappato E8 con successo ed è la prima volta che l’unione di matematici e supercomputer ha prodotto un risultato di grande valore. Il Progetto Atlas, lanciato nel 2002, ha radici profonde nella storia della matematica. Gli antichi Greci erano affascinati dai cristalli e dai poliedri perché erano ricchi di simmetrie. Nel XIX secolo il matematico norvegese Sophus Lie ha cominciato a studiare oggetti con simmetrie rotazionali non spigolose. Questi oggetti sono rari nello spazio a tre dimensioni dove sono solo sfere, cilindri, coni e tori, ma negli spazi a dimensioni maggiori sono più comuni e le loro simmetrie sono espresse dai gruppi di Lie. Anche il gruppo di Lie più semplice, quello delle rotazioni di una sfera, ha una profonda importanza scientifica e nella fisica. Questo gruppo chiamato SO(3) o A1 è quello che controlla le orbite degli elettroni. Il successivo gruppo di Lie è A2 o SU(3) e descrive le simmetrie dei quark, si tratta di un gruppo ad 8 dimensioni che è usato dai fisici nella teoria della grande unificazione. Il gruppo E8, che è il più grande, viene adottato dai fisici per la teoria delle stringhe. Il matematico tedesco Wilhelm Killing suppose l’esistenza di E8 nel 1887 e divise tutti possibili gruppi di Lie in 4 famiglie infinite indicate da A a D più 5 gruppi eccezionali (G2, F4, E6, E7 ed E8). Il matematico francese Elie Cartan poi descrisse E8 nel 1894. Il Progetto Atlas ha voluto determinare la struttura di questi gruppi come un genoma. La mappatura delle rotazioni, nei diversi spazi a n dimensioni in cui opera ciascun gruppo, è possibile per ogni gruppo, incluso E8, in un tempo finito mediante formule, ma nessuno sapeva quanto sarebbe stato lungo il calcolo e se era realizzabile. Il matematico belga Fokko du Cloux, che era anche esperto di computer, fu capace di trasformare gli astratti teoremi dei gruppi in un algoritmo funzionante. Du Cloux calcolò che E8 ha 453060 famiglie e quindi il “genoma” di E8 era costituito da una matrice di 453060 righe per 453060 colonne, cioè da più di 200 miliardi di ingressi. Nel novembre del 2005 però a De Cloux fu diagnosticata una sclerosi laterale amiotrofica ed in breve poté respirare ed agire solo mediante apparecchi. Riuscì tuttavia a definire il software, ma non vide la fine del lavoro perché morì il 10 novembre del 2006. L’8 gennaio 2007 il Sage dell’università di Washington calcolò l’ultimo ingresso della tabella di E8. Il “genoma” di E8 ha prodotto un enorme numero di dati che non sono facili da assimilare, ma il loro effetto si vedrà presto specialmente nella teoria dei numeri e matematici e fisici avranno una miniera da cui attingere. Hermann Nicolai, un fisico teorico dell’università di Potsdam, in Germania, dice che l’impronta di E8 si può trovare nella teoria delle stringhe e nella sua versione della gravità quantistica basata sui principi di simmetria.

Science, 10 Oct 2008, Vol. 322, pg. 185 - Dennis Normile - Seki Takakazu, grande matematico giapponese, lavorò nel più completo isolamento al tempo in cui il Giappone era chiuso al resto del mondo. Le sue scoperte tuttavia rivaleggiano e spesso anticipano quelle dei matematici europei di cui egli non aveva mai sentito parlare. Avvicinandosi il 300mo anniversario della sua morte il 24 ottobre prossimo, il 25-31 agosto scorso gli storici hanno ricordato i suoi lavori nella Conferenza Internazionale della Storia della Matematica all’Università delle Scienze di Tokyo. Dopo la sua morte la matematica giapponese, nota con il termine “wasan”, è rimasta negletta. Si sono scoperti nuovi fatti sulla vita di Seki, ad esempio che ha lavorato come professore di matematica, contrariamente all’idea che la matematica nel Giappone feudale fosse solo considerata un passatempo. La sua scoperta più importante fu quella di una teoria generale per la soluzione dei sistemi di equazioni che è stata trascurata perché portava a calcoli troppo complessi. Seki era nato in una famiglia di samurai nel 1640 a Fujioka, una città circa 90 km a sud-ovest di Tokyo (allora Edo). Dopo secoli di lotte intestine, i Tokugawa avevano unificato e pacificato il Giappone e guidavano il Giappone mediante comandanti militari, detti shogun, mentre l’imperatore era solo una figura rappresentativa. I samurai erano un’élite privilegiata in una gerarchia feudale. Non si sa chi abbia introdotto Seki alla matematica, sembra che egli sia stato un autodidatta ed abbia usato testi cinesi. Seki era entrato a far parte del governo dello shogun nella capitale. Nella burocrazia la conoscenza del wasan era un mezzo per il successo nella vita. Inventò nuove notazioni per maneggiare le equazioni a più variabili e trovò soluzioni per equazioni con incognita alla quinta potenza. Il suo lavoro più significativo fu sui determinanti, come le matrici che anticipavano di un anno o due le scoperte di Leibniz. Seki pubblicò solo un libro durante la sua vita. Alla sua morte nel 1708, due suoi studenti, i fratelli Katahiro e Takaakira Takebe, raccolsero i suoi lavori in 20 volumi. Le scoperte di Seki del 1680 sul metodo di soluzione dei sistemi di equazioni, con eliminazione successiva delle variabili, è simile a quello di René Descartes del 1627 completata da Bézout 130 anni più tardi. A differenza di Descartes, Seki non ha avuto successori e, dopo i fratelli Takebe, la matematica in Giappone finì. La politica di isolamento finì nel 1853. Nel 1868 lo shogunato Tokugawa fu rovesciato e restaurata l’autorità imperiale e, nel 1872, il wasan fu sostituito, nel curriculum scolastico, dall’insegnamento della matematica occidentale. Nel periodo Tokugawa c’era rivalità fra le scuole ed ognuno risolveva i problemi con procedimenti segreti. Il lavoro di Seki sui determinanti fu contemporaneo a quello di Leibniz, un altro matematico il cui lavoro è stato sconosciuto per decadi perché non fu mai pubblicato.