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CURIOSITA' |
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Perchè meno per meno fa più? Proviamo a dimostrare che il prodotto tra due numeri negativi è un numero positivo cioè che (- a) · (- b) = + ab. Prendiamo a = - 1 b = 1 c = - 1 e supponiamo, per assurdo, che (- 1) · (- 1) = - 1. Calcoliamo a · (b + c) - 1 · (1 - 1) = - 1· (0) = 0. Calcoliamo (a · b) + (a · c) (- 1 · 1) + [-1 · (- 1)] = (- 1) + (- 1) = - 2 Sappiamo, che per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, a · (b + c) = a · b + a · c quindi dovrebbe essere 0 = -2 che è assurdo. |
Il numero 1 è un numero primo?
Il numero 1 dovrebbe essere inserito tra i numeri primi
perché rientra nella definizione “Un numero primo è
divisibile solo per se stesso e per 1”, ma in realtà il numero 1
è un’eccezione.La motivazione di questo
fatto risiede in un importante teorema secondo cui ogni numero può
essere scritto in un solo modo come prodotto dei suoi fattori primi, fatta
eccezione per l’ordine dei fattori. Così ad esempio 12 = 2 x 2 x 3
e nessun altro prodotto di numeri primi è uguale a 12. Questo teorema
dovrebbe essere modificato se 1 fosse un numero primo poiché in tal caso
12 sarebbe anche uguale a 1 x 2 x 2 x 3, a 1 x 1 x 2 x 2 x 3 e così via
e ciò sarebbe una contraddizione. Per questo motivo 1 non è un
numero primo. Eulero dimostrò la stessa cosa in un modo differente. Egli
aveva osservato che la somma dei divisori di un numero primo p è sempre
p + 1, cioè il numero stesso più 1. Naturalmente
l’eccezione a questa regola è il numero 1, pertanto basta negare
che 1 sia primo.
Quanti sono i numeri primi?
Euclide dimostrò che i numeri primi sono
infiniti prendendo in considerazione tre numeri primi come esempio. Chiamandoli
con A B e C, moltiplichiamoli tra loro e aggiungiamo 1: il risultato ABC + 1
è primo? Se sì, allora vuol dire che esiste un numero primo
più grande di A, B o C. Se ABC + 1 non è primo, allora significa
che ha un fattore primo che non è né A, né B, né C.
Per cui esiste almeno un altro primo… e
così via.
L'INCONSISTENZA DEI SISTEMI PER VINCERE AL GIOCO
Secondo dati diramati dal Ministero delle Finanze, nel
1998 sono stati spesi globalmente, in Italia, circa 26.500 miliardi per
partecipare ai vari giochi in denaro gestiti dallo Stato (Lotto, Totocalcio,
Gratta e vinci, Superenalotto, lotterie, ecc.). La stessa fonte non specifica
quale somma, in totale, sia stata ridistribuita sotto forma di premi;
analizzando però, i regolamenti dei vari giochi, è possibile
stimare che un tale valore non supera il 50% degli incassi lordi. Si
può, quindi, affermare che, nel corso del 1998, i circa 57.500.000
cittadini italiani, hanno bruciato, in media, non meno di 230.000 lire a testa
(19.170 lire al mese; 4.225 lire a settimana). Ciò vuoi dire che, per
esempio, la perdita media per una famiglia composta da quattro persone, di
qualsiasi età, non è stata inferiore a 920.000 lire (76.665 lire
al mese, 17.690 lire a settimana). Se il Governo avesse imposto una tassa
straordinaria "pro capite" di tale entità, sarebbe scoppiata
la rivoluzione. Invece la gente, in certi particolari momenti, ha fatto
addirittura la ressa per non perdere l'opportunità di pagare questa
volontaria "tassa sulla speranza". Il problema, quindi, è
molto serio; è molto deprimente constatare, però, come in Italia
nei riguardi di questo argomento, circoli prevalentemente della scandalosa
disinformazione. In particolare, negli ultimi tempi si è assistito a un
abnorme proliferare dei cosiddetti sistemi "per vincere
matematicamente", offerti attraverso ogni genere di canale di
comunicazione (stampa, radio, televisione, Internet, ecc.). La Legge, infatti,
punisce chi esercita abusivamente la professione medica, ma non prevede alcuna
pena nei confronti di chi fa abuso della professione di matematico... Ma
è proprio la fiducia posta in tali "metodi sicuri" la causa
principale di consistenti perdite in denaro, a volte, rovinose. In
realtà, nel caso dei giochi di puro azzardo, gestiti da un
"Banco" (ovvero, da una figura che raccoglie le somme giocate e
stabilisce le quote da ripartire tra i vincitori), la matematica può
fornire solo dei suggerimenti per minimizzare le perdite; e, tra questi, il
più semplice ed efficace è quello di non giocare. Verso i primi
del 1800, Pierre Simon de Laplace, uno dei padri del calcolo delle
probabilità, riferendosi al gioco della roulette, scrisse: "Quando
un numero non esce da molto tempo, i giocatori corrono a coprirlo di denaro.
Essi ritengono che quel numero reticente debba uscire al prossimo colpo, a
preferenza di altri (...)". A distanza di quasi due secoli, l'idea che i
numeri "ritardatari" abbiano maggiore probabilità di uscita
rispetto agli altri (in vari giochi, dalla roulette al Lotto), rimane
fermamente radicata nella mentalità comune. Una tale credenza scaturisce
dall'errata convinzione che, per la "legge empirica del caso", alla
lunga gli scarti debbano compensarsi; ma è rafforzata anche dalla
considerazione che un ritardo eccessivamente elevato rispetto alle previsioni,
ha oggettivamente una probabilità estremamente bassa di verificarsi.
Bisogna però considerare che il valore della probabilità,
calcolato prima di cominciare ad effettuare i tentativi (quando, cioè,
non se ne può ancora conoscere l'esito), è diverso da quello che
si può ricavare, una volta che si è venuti a conoscenza
dell'esito di alcuni tentativi. Ad esempio, si supponga di lanciare una moneta
4 volte di seguito. Ponendo T = "testa" e C = "croce", gli
eventi TTTT e TTTC sono equiprobabili. Dunque, dopo tre "teste".
consecutive nulla autorizza a dire che "croce" è più
probabile di "testa"; nemmeno il fatto che l'evento "Non esce
mai C" è meno probabile di " C esce una volta",
perché questo vale prima di effettuare i quattro lanci. Nell'analisi dei
giochi d'azzardo, assume una grande importanza il concetto di
"rendimento" (o "speranza matematica"), che consente di
valutare, in maniera estremamente attendibile, il livello di equità dei
vari giochi. Se si indica con il termine "posta" la somma pagata per
effettuare una determinata puntata, il "rendimento" di tale puntata
viene definito come il prodotto tra la probabilità dell'evento su cui si
è scommesso e il numero delle poste che si incasserebbero, se
quell'evento dovesse verificarsi. Un gioco che ha un rendimento maggiore di 1
viene detto "vantaggioso", in quanto la sua pratica consentirebbe di
incassare, alla lunga, una somma totale superiore all'ammontare delle somme
spese. Un gioco che ha un rendimento uguale a 1 viene detto "equo",
in quanto la sua pratica consentirebbe di incassare, alla lunga, una somma
totale uguale all'ammontare delle somme spese. Un gioco che ha un rendimento
minore di 1 viene detto "svantaggioso", in quanto la sua pratica
consentirebbe di incassare, alla lunga, una somma totale inferiore
all'ammontare delle somme spese. Sono svantaggiosi, in genere, tutti i giochi
gestiti da un "banco", ovvero da una figura che incamera tutte le
poste giocate e fissa (a suo favore) i parametri relativi alle somme da
elargire, in caso di vincita. Quanto più il rendimento è minore
di 1, tanto più il gioco è controproducente, dato che sempre
più negativo tenderà ad essere il bilancio, dopo un numero
consistente di puntate. Sono equi, in genere, tutti i giochi che non prevedono
un "banco" (come, per esempio, il "poker") o che, pur
prevedendolo, fanno svolgere questo ruolo, a turno, ai vari partecipanti al
gioco (come, per esempio, il "sette e mezzo"). Ma se un gioco
è equo, non significa necessariamente che il suo esito
consisterà, ogni volta, in un pareggio; molto più semplicemente,
a lungo andare, le somme vinte andranno a controbilanciare quelle perse. Un
gioco può avere un rendimento maggiore di 1 (ovvero, essere
"vantaggioso"), in due soli casi: - chi gestisce il gioco è un
benefattore; - chi ha determinato il valore del rendimento, ha commesso un
errore di calcolo. In realtà, un sistema per "vincere con
certezza" esiste ed è stato ideato dal matematico francese Jean Baptiste d'Alembert. Per
applicare questo metodo (noto anche come "metodo della martingala"),
si deve stabilire una posta iniziale e bisogna, poi, giocare di continuo fino
all'avverarsi dell'evento su cui si è scommesso; ad ogni puntata, la
posta deve essere opportunamente incrementata, in maniera tale che, al
conseguimento della vincita, sia possibile recuperare tutte le somme giocate e
aggiudicarsi, in maniera netta, il guadagno previsto per la puntata iniziale.
Peccato che, per poter attuare una simile strategia con sicurezza assoluta, sia
necessario avere a disposizione un capitale infinito... Infatti, se non si
riesce a vincere entro un ragionevole numero di estrazioni, col passare del
tempo si è costretti a puntare somme sempre più elevate, del tutto
sproporzionate all'entità del guadagno previsto. D'Alembert,
che credeva alla teoria dei ritardi (anche i gradi matematici possono
sbagliare...), ideò questo metodo, con la convinzione che, puntando su
un particolare evento "ritardato", si potesse riuscire a ridurre il
tempo medio di attesa della sua uscita. Nonostante l'inconsistenza di tale
convinzione sia stata dimostrata da vari secoli, il metodo della martingala
è tutt'ora usato soprattutto alla roulette, per le puntate semplici
(rosso e nero, impair e pair,
manque e passe), e al gioco del Lotto, per gli
estratti semplici. A parte tutte le considerazioni precedenti, bisogna tener
conto che se fosse possibile elaborare un metodo per ottenere una percentuale
minima di guadagno, garantita ad ogni puntata, nel giro di pochi anni
l'ideatore di un tale sistema potrebbe diventare l'uomo più ricco del
mondo. Si supponga, per esempio, che un sistemista sia riuscito a mettere a
punto un metodo per vincere, al gioco del Lotto, una percentuale minima del 5%,
ad ogni estrazione. Se questa persona puntasse una somma iniziale di sole
20.000 lire: la prima volta vincerebbe 21.000 lire; la seconda volta,
puntando 21.000 lire, vincerebbe 22.050 lire; la terza volta, puntando
22.000 lire (e accantonando momentaneamente le 50 lire eccedenti), vincerebbe
23.100 lire. Proseguendo in questo modo, ovvero puntando ad ogni estrazione, la
somma vinta la volta precedente (più altre 1.000 lire, quando il totale
delle cifre accantonate eguaglia o supera tale importo): dopo 104 estrazioni
(1 anno) vincerebbe 3.133.550 lire; dopo 312 estrazioni (3 anni)
vincerebbe 80.046.648.500 lire; dopo 520 estrazioni (cinque anni)
vincerebbe 2.045.113.224.492.600 lire; a questo punto, solo l'inevitabile
tracollo economico del nostro apparato statale gli impedirebbe, nel giro di
altri due o tre anni, di impadronirsi di tutte le ricchezze del pianeta.
(Tratto dall'articolo di Ennio Peres sul numero 2/1999 di
"Archimede")
COME DIVENTARE MILIARDARI CON LA MATEMATICA
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