indice di capitolo

Ho preso una multa!


In ultima analisi il problema e' quello di stabilire se sia maggiore (e elevato pigreco) oppure (pigreco elevato e).
Spero che nessuno sia caduto nell'inganno di considerare 80 minuti meno di 1h e 20!
Basta prendere una calcolatrice e si scopre la soluzione, ma il problema chiede di non farlo. Ovvero di dimostrare analiticamente, con carta e penna, la disuguaglianza giusta.
Comunque prendiamo la nostra calcolatrice e scopriamo che (e elevato pigreco) > (pigreco elevato e), sia pure di poco.
Dunque i tratti piu' veloci sono AB e CD.
Resta il problema di dimostrarlo analiticamente.
Innanzitutto scriviamo sinteticamente e^p in luogo di (e elevato pigreco)
Vogliamo dimostrare che e^p > p^e
Se cio' e' vero sara anche, passando ai logaritmi
ln(e^p) > ln(p^e)
che si traduce, per una proprieta' dei logaritmi, in
p ln(e) > e ln(p)
ln(e)/e > ln(p)/p
studiamo ora la funzione ln(x)/x
scopriamo facilmente (calcolo delle derivate, etc...)
che ha un massimo in (e ; 1/e)
da cui si deduce, poiche' certamente p > e, che ln(e)/e > ln(p)/p