Sulle sezioni di una piramide quadrangolare
L'occasione per scrivere questa pagina è sorta durante la redazione della risposta al quesito numero 2 proposto agli Esami di Stato 2003 nei corsi di ordinamento di Liceo Scientifico. Il testo del quesito è il seguente.
| Figura 1 | Figura 2 |
Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.
Così, per affiancare alla descrizione richiesta (e riportata nella raccolta dei temi d'esame che presento in altra pagina) anche elementi di maggiore interattività con gli enti geometrici coinvolti, ripropongo di seguito il medesimo breve testo integrandolo con alcune applet Java che facilitano l'analisi delle diverse situazioni (trascinare con il mouse le diverse costruzioni).
Descrizione. Dato che il testo non specifica se la piramide sia retta o no, considereremo nel seguito entrambe le situazioni. Abbiamo quindi due piramidi aventi come base un quadrato: la prima è pure retta cioè la sua altezza cade sul centro della base (figura 1), la seconda invece non possiede tale proprietà (fig. 2). Possono presentarsi i casi seguenti:
- a) il piano seziona le piramidi, parallelamente al piano delle loro basi. Il quadrilatero sezione è per entrambe un quadrato (figg. 3 e 4).
| Figura 3 | Figura 4 |
- b) Il piano contiene un lato di base (o è parallelo a questo) e forma con l'altezza un angolo diverso da quello retto). La sezione per la piramide retta risulta un trapezio isoscele mentre un trapezio qualsiasi per la piramide non retta (figg. 5 e 6).
| Figura 5 | Figura 6 |
- c) Se il piano è parallelo (o la contiene) ad una diagonale della base passa per un vertice della base e interseca due spigoli in punti aventi la medesima distanza dalla base) si ottiene, per la piramide retta, un quadrilatero avente le diagonali perpendicolari (detto anche "romboide") e lati a due a due congruenti (in figura 7}. Se la piramide non è retta appare un quadrilatero convesso qualsiasi (in figura 8).
| Figura 7 | Figura 8 |
- d) Infine, se il piano ha una qualsiasi altra disposizione, la figura sezione è un quadrilatero qualsiasi comunque convesso (figg. 9 e 10).
| Figura 9 | Figura 10 |
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